高校数学の「三角関数の最小値」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2018年11月27日2023年1月14日三角関数実用数学技能検定（数学検定数検),数検2級,数検準1級

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問題

θ

が

- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}

を満たすときの

y = \tan^{2} θ + k \tan θ + 3

について、以下の問いに答えよ。
（1）

θ = \frac{π}{4}

のとき、

y = 6 + 2 \sqrt{2}

である。
このときの実数

k

の値を求めよ。
（2）

k

が（1）で求めた値であるときの

y

の最小値を求めよ。

（1）は条件を式に代入すれば求められます。

Lukia

\tan \frac{π}{4} = 1

であることを踏まえて、代入して計算します。

$\begin{aligned} 6 + 2 \sqrt{2} = & 1^{2} + k + 3 \\ k = & 2 + 2 \sqrt{2} \end{aligned}$

（2）は平方完成して放物線の頂点を求める。

(1)より、
$\begin{aligned} y = & \tan^{2} θ + 2 (1 + \sqrt{2}) \tan θ + 3 \\ = & {\tan θ + (1 + \sqrt{2})}^{2} - {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 3 \\ = & {\tan θ + (1 + \sqrt{2})}^{2} - 2 \sqrt{2} \\ - \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2} より \\ \tan θ はすべての実数を取るから, \\ 最小値は - 2 \sqrt{2} \end{aligned}$

こたえ

$\begin{aligned} k = & 2 + 2 \sqrt{2} \\ 最小値： & - 2 \sqrt{2} \end{aligned}$

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プロフィール

Author Profile

Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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