高校数学の「三角関数の最大値・最小値」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年10月11日三角関数, 数学検定準1級Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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問題

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\(y=\sin \left( \theta-\frac{ \pi }{ 6 }\right)\)の
\(0 \leqq \theta \leqq \pi\) における最大値・最小値を求めよ。

θの範囲を変形する。

$$\begin{align}0 \leqq &\theta \leqq \pi \\0\color{blue}{-\frac{ \pi }{ 6 }} \leqq &\theta\color{blue}{-\frac{ \pi }{ 6 }} \leqq \pi\color{blue}{-\frac{ \pi }{ 6 }} \\ -\frac{ \pi }{ 6 } \leqq &\theta-\frac{ \pi }{ 6 } \leqq {\frac{ 5 }{ 6 }}\pi \end{align}$$

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Lukia

半径1の単位円で表すと、\(\theta-\frac{ \pi }{ 6 }\)の範囲は、
水色に塗られた部分となります。

サインの最大値・最小値を求める。

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Lukia

以前別のページで、「\(\sin\)(サイン)は\(y\)(ワイ)」という恩師直伝のダジャレについて書いたと思いますが、今回もそれが使えます。
単位円の水色に塗られた部分において、最も高い位置と最も低い位置はどこか。と聞かれているのにすぎません。
♪

れもん

ということは、\(y=1\)になるときが最も高く、
\(y=-\frac{1}{2}\)になるときが最も低いことになりますね。
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Lukia

そうです。図では以下のようになりますね。

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Lukia

三角関数は、単位円を描くことでイメージ化しやすくなるので、
当然、解きやすくなります。

$$-\frac{1}{2} \leqq \sin \left( \theta-\frac{ \pi }{ 6 }\right) \leqq 1$$
ゆえに、
$$\begin{align}最大値: 1  &\theta-\frac{ \pi }{ 6 }=\frac{ \pi }{ 2 } \\ すなわち、&\theta={\frac{ 2 }{ 3 }}\pi のとき
\\最小値: -\frac{1}{2}  &\theta-\frac{ \pi }{ 6 }=-\frac{ \pi }{ 6 } \\ すなわち、&\theta=0 のとき \end{align}$$

こたえ

$$最大値: 1  \theta={\frac{ 2 }{ 3 }}\pi のとき$$
$$最小値: -\frac{1}{2}  \theta=0 のとき$$

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