高校数学の「三角関数の最大値・最小値」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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[mathjax]
問題
\(y=\sin \left( \theta-\frac{ \pi }{ 6 }\right)\)の
\(0 \leq \theta \leq \pi\) における最大値・最小値を求めよ。
\(0 \leq \theta \leq \pi\) における最大値・最小値を求めよ。
θの範囲を変形する。
$$\begin{align}0 \leq &\theta \leq \pi \\\\0\color{blue}{-\frac{ \pi }{ 6 }} \leq &\theta\color{blue}{-\frac{ \pi }{ 6 }} \leq \pi \color{blue}{-\frac{ \pi }{ 6 }} \\\\ -\frac{ \pi }{ 6 } \leq &\theta-\frac{ \pi }{ 6 } \leq {\frac{ 5 }{ 6 }}\pi \end{align}$$
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Lukia
半径1の単位円で表すと、\(\theta-\frac{ \pi }{ 6 }\)の範囲は、
水色に塗られた部分となります。
水色に塗られた部分となります。
サインの最大値・最小値を求める。
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Lukia
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れもん
ということは、\(y=1\)になるときが最も高く、
\(y=-\frac{1}{2}\)になるときが最も低いことになりますね。
\(y=-\frac{1}{2}\)になるときが最も低いことになりますね。
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Lukia
そうです。図では以下のようになりますね。
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Lukia
三角関数は、単位円を描くことでイメージ化しやすくなるので、
当然、解きやすくなります。
当然、解きやすくなります。
$$-\frac{1}{2} \leq \sin \left( \theta-\frac{ \pi }{ 6 }\right) \leq 1$$
ゆえに、
$$\begin{align}最大値: 1 &\theta-\frac{ \pi }{ 6 }=\frac{ \pi }{ 2 } \\\\ すなわち、&\theta={\frac{ 2 }{ 3 }}\pi のとき
\\\\最小値: -\frac{1}{2} &\theta-\frac{ \pi }{ 6 }=-\frac{ \pi }{ 6 } \\\\ すなわち、&\theta=0 のとき \end{align}$$
こたえ
$$最大値: 1 \theta={\frac{ 2 }{ 3 }}\pi のとき$$
$$最小値: -\frac{1}{2} \theta=0 のとき$$
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