高校数学の「三角関数の最大値・最小値」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年10月11日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級

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問題
\(y=\sin \left( \theta-\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }\right)\)の
\(0 \leqq \theta \leqq \pi\) における最大値・最小値を求めよ。

θの範囲を変形する。

$$\begin{align}0 \leqq &\theta \leqq \pi \\\\0\color{blue}{-\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }} \leqq &\theta\color{blue}{-\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }} \leqq \pi \color{blue}{-\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }} \\\\ -\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 } \leqq &\theta-\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 } \leqq {\displaystyle\frac{ 5 }{ 6 }}\pi \end{align}$$

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Lukia

半径1の単位円で表すと、\(\theta-\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }\)の範囲は、
水色に塗られた部分となります。

サインの最大値・最小値を求める。

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Lukia

以前別のページで、「\(\sin\)(サイン)は\(y\)(ワイ)」という恩師直伝のダジャレについて書いたと思いますが、今回もそれが使えます。
単位円の水色に塗られた部分において、最も高い位置と最も低い位置はどこか。と聞かれているのにすぎません。
♪

れもん

ということは、\(y=1\)になるときが最も高く、
\(y=-\displaystyle\frac{1}{2}\)になるときが最も低いことになりますね。
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Lukia

そうです。図では以下のようになりますね。

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Lukia

三角関数は、単位円を描くことでイメージ化しやすくなるので、
当然、解きやすくなります。

$$-\displaystyle\frac{1}{2} \leqq \sin \left( \theta-\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }\right) \leqq 1$$
ゆえに、
$$\begin{align}最大値: 1  &\theta-\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }=\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 } \\\\ すなわち、&\theta={\displaystyle\frac{ 2 }{ 3 }}\pi のとき
\\\\最小値: -\displaystyle\frac{1}{2}  &\theta-\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }=-\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 } \\\\ すなわち、&\theta=0 のとき \end{align}$$

こたえ

$$最大値: 1  \theta={\displaystyle\frac{ 2 }{ 3 }}\pi のとき$$
$$最小値: -\displaystyle\frac{1}{2}  \theta=0 のとき$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年10月11日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級

Posted by Lukia_74