高校数学の「対数の微分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

微分とその応用Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数学検定準1級

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KEYWORDS

高校数学 , 対数の微分 , 数学Ⅲ(微分の応用) , 置換 , 底の変換公式 , どの文字について微分? , Logarithm , differential , 数学検定準1級

問題

以下の式を\( \ x\ \)について微分せよ。
\( \ y=\log_{x}\left( \log x\right) \ \)

解法


\( \ \begin{align}y=&\log_{x}\left( \log x\right) \\\\ &\log x=t\quad とする.\\\\ y=&\log_{x}t\\\\ y=&\frac{\log t}{\log x}=\frac{\log t}{t}\quad \left( 底の変換公式より\right)  \end{align} \ \)

両辺を\( \ t\ \)について微分する

\( \ \begin{align}\frac{\mathrm{ d } y}{\mathrm{ d } t}=&\frac{\frac{1}{t}\cdot t-\log t\cdot 1}{t^2}=\frac{1-\log t}{t^2}  \end{align} \ \)

ここで\( \ t=\log x \ \)の両辺を\( \ x\ \)について微分する.

\( \ \begin{align}\frac{ \mathrm{ d } t }{ \mathrm{ d } x }=&\frac{1}{x} \\\\ \frac{ \mathrm{ d } y }{ \mathrm{ d } t }\cdot \frac{ \mathrm{ d } t }{ \mathrm{ d } x }=&\frac{1-\log \left( \log x\right)}{x\left( \log x\right)^2}  \end{align} \ \)
Lukia_74
Lukia
\( \ \log x=t \ \)と置換すると、\( \ y\ \)と\( \ t\ \)で表されますね。
両辺を\( \ t\ \)で微分するのですが、ここで終わってしまってはだめですね。
というのも、\( \ t\ \)は私たちが勝手においたのであって、
そもそもは、\( \ x\ \)について微分するように指示されているからです。

\( \ \frac{ \mathrm{ d } t }{ \mathrm{ d } x } \ \)の操作をすると、最終的な目的を果たすことができますね。

こたえ

$$\frac{1-\log \left( \log x\right)}{x\left( \log x\right)^2} $$

プロフィール

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Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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