高校数学の「指数関数・対数関数」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年11月26日指数と対数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

読了時間: 約548

問題
(1) \( \ 2^x-2^{-x}=4 \ \) のとき
\( \ x=\log_{2}\left( \color{#0004fc}{ア}+\sqrt{\color{#0004fc}{イ}}\right) \ \)である。
また、\( \ 4^x+4^{-x}=\color{#0004fc}{ウエ} \ \)
\( \ 2^x+2^{-x}=\color{#0004fc}{オ}\sqrt{\color{#0004fc}{カ}} \ \)
\( \ 8^x+8^{-x}=\color{#0004fc}{キク}\sqrt{\color{#0004fc}{ケ}} \ \) である。(2) \( \ 4^x+4^{-x}+2^{2-x}+2^{-x}+2=5\cdot 2^x\quad \cdots\quad ① \ \) を考える。
\( \ 2^x-2^{-x}=t \ \) とおくと、
①は\( \ t^2-\color{#0004fc}{コ}t+\color{#0004fc}{サ}=0 \ \) となるから、
①を満たす\( \ x \ \)の値は
\( \ x=\log_{2}\left( \color{#0004fc}{シ}+\sqrt{\color{#0004fc}{ス}}\right) \ \),\( \ \log_{2}\left( \color{#0004fc}{セ}+\sqrt{\color{#0004fc}{ソ}}\right)-1 \ \)の2つである。

センター数学の誘導は五十音順とは限らない!

Lukia_74

Lukia

問題のようすからすると、大学入試センター試験の対策問題のようですね。
センター試験は、誘導にうまく乗れたらするっと解ける。という意見もあるのですが、必ずしも考え(または答え)の順の通りに設問が展開されているわけではありません。
だから、「順番に解いていけるはず!」と思わないことがセンター数学のコツですかね。
Lukia_74

Lukia

また、数学をあれこれ解いてきて思うのは、数学は、「いかにシンプルタスクに落とし込めるか」という能力やマインドが大事だということです。
一見複雑な問題でも、解けるところとかわかるところを一つずつ解決して、問題を最後まで解き切ることが必要となります。
別の単元で習った&使ったテクニックをもとに、シンプルにできないか。ということを考えてみましょう。
Lukia_74

Lukia

\( \ 2^x-2^{-x}=4 \ \)という式において、
\( \ 2^x \ \)と\( \ 2^{-x} \ \)が並んで存在しているのがやっかいですね。
そこで、「なんとか\( \ 2^x \ \)だけを存在させることはできないか。」ということを考えていきましょう。
(あっ、\( \ 2^x \ \)さんがガクブルしてますよ〜。)

$$\begin{align}2^x-2^{-x}=&4\quad \cdots\quad \left( ⅰ\right)\quad の両辺を2乗する. \\\\ \left( 2^x-2^{-x}\right)^2=&16 \\\\ 2^{2x}-2\cdot 2^x\cdot 2^{-x}+2^{-2x}=&16\\\\ 2^{2x}+2^{-2x}=&18\\\\ 4^x+4^{-x}=&\color{#0004fc}{18} \end{align}$$

$$\begin{align}2^{2x}+2^{-2x}=&18\\\\ \left( 2^x+2^{-x}\right)^2-2\cdot 2^x\cdot 2^{-x}=&18 \\\\ \left( 2^x+2^{-x}\right)^2=&20 \\\\ 2^x& \gt 0 \ , \ 2^{-x} \gt 0\quad より\\\\ 2^x+2^{-x}=&\color{#0004fc}{2}\sqrt{\color{#0004fc}{5}}\quad \cdots\quad \left( ⅱ\right) \end{align}$$
$$\begin{align}ⅰ+ⅱ& \\\\ \left( 2^x-2^{-x}\right)+\left( 2^x+2^{-x}\right)=&4+2\sqrt{5} \\\\ 2^x=&2+\sqrt{5}\ \\\\ x=&\log_{2}\left( \color{#0004fc}{2}+\sqrt{\color{#0004fc}{5}}\right) \end{align}$$

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Lukia

いかがですか。
五十音順に解いていけるはずだ。と思ってしまうと、ず〜っと動けない問題です。
ただでさえ、センターの数学ⅡB分野は、問題数が多く、時間が足りないのに、あっという間にタイムアウトしてしまいます。
誘導があるゆえのひっかけ問題ですので、どれだけ長く柔軟なマインドを維持できるか。というのが、センター試験攻略の重要な要素といえるかもしれませんね。

$$\begin{align}8^x+8^{-x}=&\left( 2^x+2^{-x}\right)^3-3\cdot 2^x\cdot  2^{-x}\left( 2^x+2^{-x}\right) \\\\ =&\left( 2\sqrt{5}\right)^3-3\cdot 2\sqrt{5} \\\\ =&\color{#0004fc}{34}\sqrt{\color{#0004fc}{5}} \end{align}$$

(1)で使えるものがあるかも。

$$\begin{align}4^x+4^{-x}+4\cdot 2^{-x}+2^{-x}+2=&5\cdot 2^x \\\\ \left( 2^x-2^{-x}\right)^2+2-5\left( 2^x-2^{-x}\right)+4=&0 \\\\ t^2-\color{#0004fc}{5}t+\color{#0004fc}{4}=&0 \end{align}$$

$$\begin{align}t^2-5t+4=&0\quad を解いて, \\\\ t=&1 \ , \ 4 \\\\ 2^x-2^{-x}=&1 \ , \ 4 \end{align}$$

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ここで、\( \ 2^x-2^{-x}=4 \ \)のほうは、(1)ですでに求めているので、空欄「シ」「ス」には、それぞれの「ア」「イ」に入れたものが書けますね。省力化できることもあるので、最後まであきらめないこと。時間がないときは、得点になればもうけもんぐらいの気持ちで、すでに求めた数字を入れておきましょう。何か入れておけば、可能性はゼロではありません。
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Lukia

問題は、\( \ 2^x-2^{-x}=1 \ \)のほうですね。
これは、(1)で行った式変形を行う必要があります。片方が省力化できたのですから、このぐらいはちゃちゃっとやってしまいましょう。

$$\begin{align}2^{2x}+2^{-2x}=&\left( 2^x-2^{-x}\right)^2+2=3\\\\ また,& \\\\ 2^{2x}+2^{-2x}=&\left( 2^x+2^{-x}\right)^2-2 \\\\ 5=&\left( 2^x+2^{-x}\right)^2\\\\ 2^x+2^{-x}=&\sqrt{5} \quad \left( 2^k \gt 0 \ kはすべての実数\right) \end{align}$$
$$\begin{align}\left( 2^x-2^{-x}\right)+\left( 2^x+2^{-x}\right)=&1+\sqrt{5} \\\\ 2^{\left( x+1\right)}=&1+\sqrt{5} \\\\ x+1=&\log_{2}\left( \color{#0004fc}{1}+\sqrt{\color{#0004fc}{5}}\right) \\\\ x=&\log_{2}\left( \color{#0004fc}{1}+\sqrt{\color{#0004fc}{5}}\right)-1 \end{align}$$

こたえ

  2 5  
  1 8  
  2 5  
3 4 5
  5 4  
  2 5  
  1 5  

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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