高校数学の「数列の数学的帰納法」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年11月15日数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題
次のように定められる数列\(\lbrace a_n\rbrace\)について、次の問いに答えよ。
\(a_1=\frac{1}{2} \ , \ a_n+1=\frac{1}{2-a_n}\)
(1) \(a_n\)を順次計算して、数列\(\lbrace a_n\rbrace\)の一般項を推定せよ。
(2) (1)の推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

数列の推定は、地道にふたつみっつ計算してみよう。

(1)
$$\begin{align}a_2=&\frac{1}{2-a_1}=\frac{2}{3} \\\\ a_3=&\frac{1}{2-a_2}=\frac{1}{2-\frac{2}{3}}=\frac{3}{4} \\\\ a_n=&\frac{n}{n+1} \ と推定される。\end{align}$$

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Lukia

確実にわかる数値を入れて、地道に(ふたつからみっつぐらい)計算してみましょう。すると、数列のルールというかパターンというようなものがわかってきます。

数学的帰納法を用いた証明は、テンプレートを覚えよう。

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数学的帰納法の証明は、大学の二次試験などでも出題されています。
1以上のすべての自然数についていえる。ということを証明しなければならないので、
当たり前のようですが、自然数のはじまりである\(n=1\)から確認するという「お作法」はきちっとおさえておきましょう。

(2)
$$\begin{align}n=1& \ のとき, \ a_1=\frac{1}{2}より成り立つ。 \\\\ n=&k \ \left( kは自然数\right) のとき\\\\ a_k=&\frac{k}{k+1} \ が成り立つと仮定する.\\\\ \\\\ n=&k+1 \ のとき\\\\ a_{k+1}=&\frac{1}{2-a_k}=\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}=\frac{1}{\frac{2k+2-k}{k+1}}\\\\ =&\frac{k+1}{k+2} であるから,\\\\ すべての&自然数nにおいて、a_n=\frac{n}{n+1} \ は成り立つ. \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年11月15日数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

Posted by Lukia_74