高校数学の「数列の数学的帰納法」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列Yahoo!知恵袋, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 数列 , 数学的帰納法 , 数学検定2級

問題

problem

次のように定められる数列\(\lbrace a_n\rbrace\)について、次の問いに答えよ。
\(a_1=\frac{1}{2} \ , \ a_n+1=\frac{1}{2-a_n}\)
(1) \(a_n\)を順次計算して、数列\(\lbrace a_n\rbrace\)の一般項を推定せよ。
(2) (1)の推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

数列の推定は、地道にふたつみっつ計算してみよう。


(1)
$$\begin{align}a_2=&\frac{1}{2-a_1}=\frac{2}{3} \\ a_3=&\frac{1}{2-a_2}=\frac{1}{2-\frac{2}{3}}=\frac{3}{4} \\ a_n=&\frac{n}{n+1} \ と推定される。\end{align}$$

Lukia_74

Lukia

確実にわかる数値を入れて、地道に(ふたつからみっつぐらい)計算してみましょう。すると、数列のルールというかパターンというようなものがわかってきます。

数学的帰納法を用いた証明は、テンプレートを覚えよう。

Lukia_74

Lukia

数学的帰納法の証明は、大学の二次試験などでも出題されています。
1以上のすべての自然数についていえる。ということを証明しなければならないので、
当たり前のようですが、自然数のはじまりである\(n=1\)から確認するという「お作法」はきちっとおさえておきましょう。

(2)
$$\begin{align}n=1& \ のとき, \ a_1=\frac{1}{2}より成り立つ。 \\ n=&k \ \left( kは自然数\right) のとき\\ a_k=&\frac{k}{k+1} \ が成り立つと仮定する.\\ \\ n=&k+1 \ のとき\\ a_{k+1}=&\frac{1}{2-a_k}=\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}=\frac{1}{\frac{2k+2-k}{k+1}}\\ =&\frac{k+1}{k+2} であるから,\\ すべての&自然数nにおいて、a_n=\frac{n}{n+1} \ は成り立つ. \end{align}$$

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