高校数学の「ユークリッドの互除法」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

整数の性質Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 整数の性質 , ユークリッドの互除法 ,  数学検定準2級

問題

problem

 

\( \ 3x+4y=68 \ \)を満たす自然数\( \ x \ , \ y \ \)の組はいくつあるか。
また,それらのうち\( \ x \ \)が2桁で最小である組を求めよ。

$$3x+4y=68\quad \left( x \gt 0 \ , \ y \gt 0\right)$$

Lukia_74

Lukia

この問題を解くにあたってのポイントは、
「二つの数\( \ x \ , \ y \ \)が自然数である」という条件を
\( \ x \gt 0\quad ,\quad y \gt 0 \ \)と数学語に変換できるかどうかということですね。


$$\begin{align}x=&\quad 4k\color{#f700ca}{-}\color{#0004fc}{68} \\ y=&-3k\color{#f700ca}{+}\color{#0004fc}{68} \quad \left( kは整数\right)\end{align}$$

Lukia_74

Lukia

下書きでは、(\( \ k \ \)は実数)としていたのですが、
\( \ x \ \)や\( \ y \ \)が自然数(正の整数)であるためには、\( \ k \ \)は整数である必要があるので、さらに限定した表現の(\( \ k \ \)は整数)としました。

$$\begin{align}x \ と \ y \ がと&もに自然数であるための整数 \ k \ を求める.\\ x=&4k-68 \gt 0\quad を解いて, \\ k& \gt 17\quad \cdots\cdots①\\ \\ y=&-3k+68 \gt 0\quad を解いて,\\ k& \lt 22+\frac{2}{3}\quad \cdots\cdots②\\ ① \ , \ ② \ より&\quad 17 \lt k \lt 22+\frac{2}{3} \\ \\ ゆえに求める整数 \ k \ は,&\quad k=18 \ , \ 19 \ , \ 20 \ , \ 21 \ , \ 22 \end{align}$$
$$\begin{align}さらに, \ 自然数 \ x \ &が2桁であるためには, \\ x=&4k-68 \geqq 10\quad を満たす必要がある. \\ これを解いて,&\quad k \geqq 19+\frac{1}{2}\\ すなわち,&k=20\quad のとき,条件を満たす.\\ \\ 以上より,&求める自然数の組は,\\ x=&4\times 20-68=12\\ y=&-3\times 20+68=8\\ \left( x \ , \ y\right)=&\left( 12 \ , \ 8\right) \end{align}$$

こたえ

$$ \left( x \ , \ y\right)=\left( 12 \ , \ 8\right) $$

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