高校数学の「三角比と図形」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
2018年11月13日図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

[mathjax]
頂点\(\mathrm{C}\)から辺\(\mathrm{AB}\)に下ろした垂線を\(\mathrm{CD}\)とするとき、
次の線分の長さを\(k \ , \ \theta\)を用いて表せ。
\(\left( 1\right)\quad \mathrm{AC}\)
\(\left( 2\right)\quad \mathrm{CD}\)
\(\left( 3\right)\quad \mathrm{BD}\)
(1)上の直角三角形において、
$$\begin{align}\cos \theta=&\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} \ より \\\\ \mathrm{AC}=&k\cos \theta\end{align}$$
(2) 上の直角三角形において、
$$\begin{align}\sin \theta=&\frac{CD}{\mathrm{AC}} \ より、 \\\\ \mathrm{CD}=&\mathrm{AC}\cdot \sin \theta \\\\ =&k\sin \theta\cos \theta \end{align}$$
$$(3)\quad \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{CBD}より、$$
$$\begin{align}\angle \mathrm{BCD}=&\theta \ \\\\ \sin \theta=&\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} \\\\ \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BD}=&\mathrm{BC}^2\\\\ =&k^2-k^2\cos^{2} \theta\\\\ k\mathrm{BD}=&k^2\left( 1-\cos^{2} \theta\right) \\\\ &k \gt 0 \ より\\\\ \mathrm{BD}=&k\sin^{2} \theta \end{align}$$
こたえ
$$\begin{align}\left( 1\right)\quad \mathrm{AC}=&k\cos \theta \\\\ \left( 2\right)\quad \mathrm{CD}=&k\sin \theta\cos \theta \\\\ \left( 3\right)\quad \mathrm{BD}=&k\sin^{2} \theta \end{align}$$
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Posted by Lukia_74
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