高校数学の「三角比と図形」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

図形と計量Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 三角比と図形 , 図形の計量 , 数学検定準2級

問題

problem

\(\angle \mathrm{C}=90^{\circ}\)である直角三角形 \(\mathrm{ABC}\)において、\(\angle \mathrm{A}=\theta \ , \ \mathrm{AB}=k\)とする。
頂点\(\mathrm{C}\)から辺\(\mathrm{AB}\)に下ろした垂線を\(\mathrm{CD}\)とするとき、
次の線分の長さを\(k \ , \ \theta\)を用いて表せ。
\(\left( 1\right)\quad \mathrm{AC}\)
\(\left( 2\right)\quad \mathrm{CD}\)
\(\left( 3\right)\quad \mathrm{BD}\)


(1)上の直角三角形において、
$$\begin{align}\cos \theta=&\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} \ より \\ \mathrm{AC}=&k\cos \theta\end{align}$$

(2) 上の直角三角形において、
$$\begin{align}\sin \theta=&\frac{CD}{\mathrm{AC}} \ より、 \\ \mathrm{CD}=&\mathrm{AC}\cdot \sin \theta \\ =&k\sin \theta\cos \theta \end{align}$$

$$(3)\quad \triangle \mathrm{ABC} \backsim \triangle \mathrm{CBD}より、$$
$$\begin{align}\angle \mathrm{BCD}=&\theta \\ \\ \sin \theta=&\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} \\ \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BD}=&\mathrm{BC}^2\\ =&k^2-k^2\cos^{2} \theta\\ \\ k\mathrm{BD}=&k^2\left( 1-\cos^{2} \theta\right) \\ &k \gt 0 \ より\\ \mathrm{BD}=&k\sin \theta \end{align}$$

こたえ


$$\begin{align}\left( 1\right)\quad \mathrm{AC}=&k\cos \theta \\ \left( 2\right)\quad \mathrm{CD}=&k\sin \theta\cos \theta \\ \left( 3\right)\quad \mathrm{BD}=&k\sin \theta \end{align}$$

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