高校数学の「データの分析(母集団の平均値と分散を求める)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

データの分析Yahoo!知恵袋, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , データの分析 , 平均値 , 分散 , 数学検定準2級

問題

problem

\( \ 10 \ \)点満点のテストをA, Bの2つのグループに実施した。
Aグループは10人でテストの得点の平均値が\( \ 6.5 \ \)点, 分散が\( \ 2.25 \ \),
Bグループは15人でテストの得点の平均値が\( \ 6.0 \ \)点, 分散が\( \ 3.20 \ \)であった。
A, Bの2つのグループを合わせた25人の得点の平均値と分散を求めよ.

以下これに基づいて解いていきます。

$$\begin{align}Aグループの&\quad 個々のデータを\quad a_i\quad \left( i=1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ , \ 10\right) \\\\ &平均を\quad \overline{a}\\\\ &分散を\quad s_a^2\quad とする. \\\\Bグループの&\quad 個々のデータを\quad b_i\quad \left( i=1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ , \ 15\right) \\\\ &平均を\quad \overline{b}\\\\ &分散を\quad s_b^2\quad とする.\\\\ Aグループと&Bグループを合わせた集団をCグループとし,\\\\ Cグループの&\quad 個々のデータを\quad c_i\quad \left( i=1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ , \ 25\right) \\\\ &平均を\quad \overline{c}\\\\ &分散を\quad s_c^2\quad とする. \end{align}$$

総合点は人数×平均点

$$\begin{align}\overline{c}=&\frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25}{c_i} \\\\ =&\frac{1}{25}\left( 10\overline{a}+15\overline{b}\right) \\\\ =&\frac{1}{25}\left( 10\times 6.5+15\times 6.0\right)\\\\ =&\frac{31\color{red}{\times 2}}{5\color{red}{\times 2}}\\\\ =&6.2 \end{align}$$
$$25人の平均値は\quad 6.2 \ 点$$

分散も考え方は同じ。

$$\begin{align}s_c^2=&\frac{1}{25}\lbrace Aグループの偏差の二乗の総和+Bグループの偏差の二乗の総和\rbrace \\\\ =&\frac{1}{25}\lbrace 10s_a^2+15s_b^2\rbrace \\\\ =&\frac{2\times 2.25\color{red}{\times 2}+3\times 3.20\color{red}{\times 2}}{5\color{red}{\times 2}}\\\\ =&\frac{28.2}{10}\\\\ =&2.82 \end{align}$$

楽に計算できるくふうをしよう。

Lukia_74

Lukia

Cグループの平均値と分散を求める式で、赤い字の\( \ \color{red}{\times 2} \ \)は、計算を楽にするためのちょっとしたテクニックです。
分母が\( \ 10 \ \)になるよう、分子にも同じ数をかけておけば、分子の計算が終われば、小数点の位置を変えるだけでいいことになりますね。
分母が\( \ 5 \ \)のままだと、分子の計算をしたのち、さらに5で割るという操作が加わります。
割るよりは、かけるほうが格段に楽ですので、分母が\( \ 10 \ \)とか\( \ 100 \ \)などにできないかなぁ。という視点を持つようにしてください。
Lukia_74

Lukia

この計算の工夫は、化学で役に立つことが多いです。

こたえ

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