高校数学の「平面ベクトル(三角形・内分比)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

ベクトルYahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 平面ベクトル , 数学検定2級

問題

problem

\(\mathrm{OA}=3 \ , \ \mathrm{OB}=4 \ , \ \angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}\)の \(\triangle \mathrm{OAB}\)があり,辺 \(\mathrm{AB}\)を\(1:2\)に内分する点を\(\mathrm{C}\),線分\(\mathrm{OC}\)の中点を\(\mathrm{M}\)とする.
また,\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AM}}\quad \left( k \ は実数\right)\)となる点\(\mathrm{P}\)をとり,\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\)とする.

(1) \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)を\(\overrightarrow{a} \ , \ \overrightarrow{b}\)を用いて表せ.また,内積\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\)の値を求めよ.
(2) \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)を\(k \ , \ \overrightarrow{a} \ , \ \overrightarrow{b}\)を用いて表せ.また,点\(\mathrm{P}\)が直線\(\mathrm{OB}\)上にあるとき,\(k\)の値を求めよ.
(3) \(\angle \mathrm{AOP}=90^{\circ}\)となるとき,\(k\)の値を求めよ.また,このとき\(\triangle \mathrm{OAP}\)の面積を求めよ.

(1)は内分比を統一して解いてしまおう。


$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=&\frac{1}{3}\left( 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right) \\\\ \\\\ \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a} \vert\vert \overrightarrow{b} \vert}=&\cos \theta\quad より \\\\ \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{3\cdot 4}=&\frac{1}{2} \\\\ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{6}=&6 \end{align}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AP}}=&k\overrightarrow{\mathrm{AM}}\quad より \\\\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&\overrightarrow{a}+k\left( \overrightarrow{\mathrm{OM}-\overrightarrow{a}}\right) \\\\ =&\left( 1-k\right) \overrightarrow{a}+\frac{k}{2}\cdot \frac{1}{3}\left( 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\\\\ =&\frac{1}{3}\left( 3-2k\right) \overrightarrow{a}+\frac{k}{6}\overrightarrow{b} \end{align}$$
$$\begin{align}点\mathrm{P}&が直線\mathrm{OB}上にあるとき, \\\\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&m\overrightarrow{\mathrm{OB}}\quad \left( m \ は実数\right) \ であるといえる.\\\\ これより, \ \frac{1}{3}\left( 3-2k\right)=&0 \\\\ k=&\frac{3}{2} \end{align}$$

(3)を解く。

条件より,
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&0 \\\\ \frac{1}{3}\left( 3-2k\right)\cdot 9+\frac{k}{6}\cdot 6=&0 \\\\ k=&\frac{9}{5} \\\\ \\\\ ゆえに, \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&-\frac{1}{10}\left( 10\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\right) \end{align}$$
$$\begin{align}\triangle \mathrm{OAP}& \ の面積を \ \mathrm{S} \ とする. \\\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{OP}} \vert^2-\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}\right)^2} \\\\ =&\frac{1}{2}\sqrt{3^2\cdot \frac{1}{10^2}\left( 10\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\right)^2} \\\\ =&\frac{1}{2}\sqrt{\frac{81}{100}\cdot 76}\\\\ =&\frac{9\sqrt{19}}{10} \end{align}$$

こたえ


$$\begin{align}\left( 1\right)\quad &\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{1}{3}\left( 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right) \\\\ &\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{6}=6 \\\\ \left( 2\right)\quad &\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{3}\left( 3-2k\right) \overrightarrow{a}+\frac{k}{6}\overrightarrow{b} \\\\ &k=\frac{3}{2}\\\\ \left( 3\right)\quad &k=\frac{9}{5}\\\\ &\mathrm{S}=\frac{9\sqrt{19}}{10} \end{align}$$

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