高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。(その6)

2018年9月9日数と式「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検準2級

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自宅のパソコンでブログ記事を書いていたはずが、
突然不思議な世界に迷い込み、
高校生?恐竜、ディノさんと出会ってしまった私。
ディノさんは、絶対値の問題の解き方を教えてくれたら、ひらけた場所までの案内をしてくれると言いますが・・・
さて、今日の問題の「解法」で、ディノさんは私を「解放」してくれるのでしょうか。

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ディノ

ぷは~、うまかったなぁ。パフェ。
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Lukia

ディノさん、お腹がいっぱいです。。。
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ディノ

でも、なんだかんだ言って、
抹茶パフェ、食ってたじゃねぇかよ。
うまかったんだろ?

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Lukia

たしかに。
でも、不思議なことに、問題解いてお店に向かったら、あれほど胃もたれしてたのに、
お腹空いてましたね。
なんですか、ここはそういう設定ですか?
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ディノ

んまぁ、よくわかんないが、そういう設定だ。
というわけで、今回も問題解けば、腹が減って、次のうまいもん食いに行けるってことだ。
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Lukia

ふぇいふぇい。
(食べ物でしばらく釣る気だな・・・)

問題

$$\Large \color{blue}{\vert x-2 \vert}+\color{red}{\vert \frac{x}{3}-2 \vert}=2$$

簡単な図を描こう。

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Lukia

さて、今回も以下のような図を使います。
計算のスペースが必要になるので、グラフの下はあけておいてくださいね。

範囲を設定しよう。

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Lukia

ディノさん、もう慣れてきたと思いますので、
二つのV字グラフが、\(x\)軸と交わるときの\(x\)の値を求めてください。
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ディノ

任せとけ!
まず、\(\color{blue}{\vert x-2 \vert=0}\)となるのは、
\(x=\color{blue}{2}\)のときで、
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ディノ

\(\color{red}{\vert \frac{x}{3}-2 \vert=0}\)となるのは、
\(x=\color{red}{6}\)のときだな。
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Lukia

そうですね。
というわけで、図に範囲などを書き込んでおきます。
以下のような図になりますね。

範囲ごとに式を書き込んでいく。

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ディノ

次の手順は、覚えたぞ。
範囲ごとに式を書き込んでいくんだ。
まず、青いグラフから片付けるとして・・・
\(\color{blue}{y=\vert x-2 \vert}\)は、
\(y=\color{blue}{-x+2}\) \(\left( \color{blue}{x \leqq 2} のとき\right)\)
\(y=\color{blue}{x-2}\) \(\left( \color{blue}{2 \leqq x} のとき\right)\) だから、
それらを範囲に合うように書き込めばいいんだったよな。
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Lukia

はい。そして・・・
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ディノ

オマエ、腹いっぱいでしゃべれねぇだろうから、
オレがやってやる。
赤いグラフも同じようにやればいいんだから、
\(\color{red}{y=\vert \frac{x}{3}-2 \vert}\)は、
\(y=\color{red}{-\frac{x}{3}+2}\) \(\left( \color{red}{x \leqq 6} のとき\right)\)
\(y=\color{red}{\frac{x}{3}-2}\) \(\left( \color{red}{6 \leqq x} のとき\right)\) となって、
やっぱりこれも、範囲に合うように書き込むんだったよな。
どうだ、できたぞ。

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Lukia

ご配慮、いたみいります。
(ああ、こういうパターン以前にもありましたねぇ・・・。
ももちゃん、どうしてるかな・・・)

筆算する。

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Lukia

ディノさん、順調に手順を踏んでますね。
というわけで、次にやるのは・・・
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ディノ

筆算だ!
二つの絶対値は、+(プラス)でつながれているから、
たし算の筆算をすればいいんだったよな。
・・・
できたぞ!

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Lukia

なるほど。
左が、\(\frac{4}{3}x+4\)
真ん中が、\(\frac{2}{3}x\)
右が \(\frac{4}{3}x-4\)になるんですね。

グラフを描くとこうなる。

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Lukia

ちなみに、ディノさんが筆算で導き出した三つの式をグラフにすると、
以下のようになります。

方程式を解く。

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Lukia

さて、ここまでは、左辺の式を変形してきました。
いよいよ、=2 をつけて、方程式を解いてみましょう。
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ディノ

じゃ、左の範囲の方程式をオレが解く。
\(\frac{4}{3}x+4=2\) を解くと
\(x=\frac{3}{2}\) とわかる。
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Lukia

では、真ん中の範囲の方程式は、私が解きましょう。
\(\frac{2}{3}x=2\) を解いて、
\(x=3\) が答えとなりますね。
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ディノ

じゃ、右の範囲の方程式は、オレだな。
\(\frac{4}{3}x-4=2\) を解けばいいんだから、
、\(x=\frac{9}{2}\) が答えだ。

範囲を比較して答えを出す。

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Lukia

三つの範囲の方程式の解を、実際に\(x\)軸上に置いてみましょう。
左の範囲の解は、青い四角で囲み、\(x\)軸には、青い矢印で、だいたいの位置を示します。
真ん中の範囲の解は、紫の四角で囲み、\(x\)軸には、紫の矢印で、だいたいの位置を示します。
右の範囲の解は、赤い四角で囲み、\(x\)軸には、赤い矢印で、だいたいの位置を示します。
すると、以下のようになるのですが、ディノさん、いかがですか?

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ディノ

おっ、今回は、右の赤い矢印が真ん中の範囲に飛び出してきてるな。
ということは、\(x=\frac{9}{2}\)は、解としては不適ということか?
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Lukia

そのとおりです。
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ディノ

なんか、楽勝になってきたな。

こたえ

$$\Large \vert x-2 \vert+\vert \frac{x}{3}-2 \vert=2$$
$$\Large x=\frac{3}{2} , x=3$$

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Lukia

実際のグラフは上のようになります。
青の線(左の範囲)と、紫の線(真ん中の範囲)は、\(y=2\) と交わっていますが、
赤い線(右の範囲)は、緑の線のはるか上にあって、まったく交わっていませんね。

お世話にならせてくださいッ!


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Lukia

いや~、ディノさん、すっかり解けるようになったじゃないですかぁ。
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ディノ

そうだなぁ。図で考えるとか、一定の手順を踏むって大事だな。
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Lukia

私も、お力になれてうれしいです。
それに、お肉やら、パフェやらすっかりごちそうになっちゃって。
ありがとうございました。
それでは、すっかり暗くなってきましたし、このへんで。
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ディノ

なに言ってんだよ~。
うち、泊まってけよ~。
ほら、かーちゃんにも会わせたいし。
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Lukia

ええっ?
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ディノ

教えてもらった恩は、きっちり返す主義なんだ。
それに、ここいらの夜、野宿は危険だぞ?
なんせ、虫とかもデカイからな。
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Lukia

へっ、いかほどの大きさで・・・(汗)
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ディノ

う~ん、オマエよりちょっとデカイぐらいかな。
ここらへん、あったかいだろ?
だから、虫もでっかくなっちゃうんだよな。
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Lukia

ひえぇ~~~、お世話になります。
いえっ、お世話にならせてくださいッ!
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ディノ

おっしゃ、じゃ、かーちゃんに「線」しとくわ。
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Lukia

「線」って・・・。

なぜか、不思議な世界に一泊することになってしまいました。
まだまだ、ディノさんと問題を解かねばならないようです。

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