高校数学の「分数関数の逆関数」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

平面上の曲線Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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KEYWORDS高校数学 , 分数関数の逆関数 , 数学Ⅲ , 数学検定準1級

問題

problem

 

\( \ y=\frac{2-x}{x-1}\quad \left( x \lt \right) \ \)の逆関数を求めよ。

式を変形して、シンプルな形にしよう。

Lukia_74

Lukia

今、式は分母にも分子にも\( \ x \ \)が存在しています。分母の\( \ x \ \)は消すことはできないのですが、分子については工夫次第で消すことができます。
まずは、その操作をやってみましょう。

$$\begin{align}y=&f\left( x\right)\quad とする. \\ f\left( x\right)=&\frac{2-x}{x-1} \\ =&\frac{-\left( x-1\right)+1}{x-1} \\ =&\frac{1}{x-1}-1 \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

式\( \ \ \)をシンプルな形にすると、
漸近線ぜんきんせんがわかってきます。
漸近線は、曲線が限りなく近づくんだけど、交わることはないギリッギリの線のことです。
(数学的にはもっときっちりした表現があるのだろうと思いますが、イメージしてもらいやすいように話し言葉で書いています)
Lukia_74

Lukia

\( \ f\left( x\right)=\frac{1}{x-\color{#0004fc}{1}}\color{#f700ca}{-1} \ \)より、
漸近線は、それぞれ\( \ x=\color{#0004fc}{1} \ , \ y=\color{#f700ca}{-1} \ \)とわかります。
以下が\( \ f\left( x\right) \ \)のグラフです。

双曲線のグラフ(定義域無視)

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Lukia

グラフに対して、曲線や漸近線が太いので、交わっているように見えますが、お互いにギリギリのところで交わらずに延々と伸びていきます。
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Lukia

さらに、定義域が\( \ \left( x \lt 1\right) \ \)とありますので、下のグラフのように青い漸近線より左側の曲線だけが残ります。


$$\begin{align}f\left( x\right)=&\frac{1}{x-1}-1\quad \left( x \lt 1\right) \\ グラフより&値域は \ y \lt -1 \end{align}$$

逆関数はy=xに関して対称であることを利用する

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Lukia

逆関数は\( \ y=x \ \)に関して対称です。
それを利用して解いていきます。

$$\begin{align}f\left( x\right)の&逆関数を \ g\left( x\right) \ とする. \\ &\left( f\left( x\right)^{-1}=g\left( x\right)\right) \\ f\left( g\left( x\right)\right)=&x\\ \frac{1}{g\left( x\right)-1}-1=&x\quad \left( ただし,g\left( x\right) \neq 1\right)\\ \frac{1}{g\left( x\right)-1}=&x+1\\ g\left( x\right)-1=&\frac{1}{x+1}\\ g\left( x\right)=&\frac{1}{x+1}+1\quad 定義域は \ x \lt -1 \\ \\ 以上より&求める逆関数は\\ y=&\frac{1}{x+1}+1\quad \left( x \lt -1\right) \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

問題の形式と合わせて、\( \ y=\frac{1}{x+1}+1 \ \)を
\( \ y=\frac{x+2}{x+1} \ \)と書き直しても問題ありません。

逆関数の関係性をグラフで確かめる

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Lukia

以下に示すグラフで、逆関数が\( \ y=x \ \)に関して互いに対称となっていることを確認しておいてください。
ちなみに、青い曲線が\( \ \color{#0004fc}{y=f\left( x\right)} \ \)で、
ピンクの曲線が\( \ \color{#f700ca}{y=g\left( x\right)} \ \)です。

逆関数はy=xに関して対称

こたえ

$$y=\frac{x+2}{x+1}\quad \left( x \lt -1\right)$$

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