2019年大学入試センター試験 数学2B「第1問 三角関数」を解いてみる。

2019年1月23日三角関数数学, 数学検定, 数検2級

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関数\( \ f\left( \theta\right)=3\sin^{2} \theta+4\sin \theta\cos \theta-\cos^{2} \theta \ \)を考える。
(1)
\( \ f\left( 0\right)=\color{#0004fc}{アイ} \ , \ \)\( \ f\left( \frac{ \pi }{ 3 }\right)=\color{#0004fc}{ウ}+\sqrt{\color{#0004fc}{エ}} \ \)である。

$$\begin{align}f\left( 0\right)=&\color{#0004fc}{-1} \\ \\ f\left( \frac{ \pi }{ 3 }\right)=&3\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}-\left( \frac{1}{2}\right)^2\\ =&\color{#0004fc}{2}+\sqrt{\color{#0004fc}{3}} \end{align}$$

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(2) 2倍角の公式を用いて計算すると,
\( \ \cos^{2} \theta=\frac{\cos 2\theta+\color{#0004fc}{オ}}{\color{#0004fc}{カ}} \ \)となる。
さらに,\( \ \sin 2\theta \ , \ \cos 2\theta \ \)を用いて\( \ f\left( \theta\right) \ \)を表すと
\( \ f\left( \theta\right)=\color{#0004fc}{キ}\sin 2\theta-\color{#0004fc}{ク}\cos 2\theta+\color{#0004fc}{ケ}\quad \cdots\cdots \ ① \ \)
となる。

$$\cos^{2} \theta=\frac{\cos 2\theta+\color{#0004fc}{1}}{\color{#0004fc}{2}}$$
$$\begin{align}f\left( \theta\right)=&3\sin^{2} \theta+4\sin \theta\cos \theta-\cos^{2} \theta \\ =&3\cdot \frac{1-\cos 2\theta}{2}+2\sin 2\theta-\frac{1+\cos 2\theta}{2} \\ =&\color{#0004fc}{2}\sin 2\theta-\color{#0004fc}{2}\cos 2\theta+\color{#0004fc}{1}\quad \cdots\cdots \ ① \end{align}$$

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(3) \( \ \theta \ \)が\( \ 0 \leqq \theta \leqq \pi \ \)の範囲を動くとき,関数\( \ f\left( \theta\right) \ \)のとり得る最大の整数の値\( \ m \ \)とそのときの\( \ \theta \ \)の値を求めよう。
 三角関数の合成を用いると,①は
\(f\left( \theta\right)=\color{#0004fc}{コ}\sqrt{\color{#0004fc}{サ}}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ \color{#0004fc}{シ} }\right)+1\)
と変形できる。したがって,\( \ m=\color{#0004fc}{ス} \ \)である。

$$\begin{align}f\left( \theta\right)=&2\sin 2\theta-2\cos 2\theta+1 \\ =&\sqrt{2^2+\left( -2\right)^2}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)+1 \\ =&\color{#0004fc}{2}\sqrt{\color{#0004fc}{2}}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ \color{#0004fc}{4} }\right)+1 \end{align}$$

$$\begin{align}0 \leqq &\theta \leqq \pi \\ 0 \leqq &2\theta \leqq 2\pi \\ -\frac{ \pi }{ 4 } \leqq &2\theta-\frac{ \pi }{ 4 } \leqq {\frac{ 7 }{ 4 }}\pi\\ -1 \leqq &\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right) \leqq 1\\ -2\sqrt{2} \leqq &2\sqrt{2}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right) \leqq 2\sqrt{2}\\ -2\sqrt{2}+1 \leqq &2\sqrt{2}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)+1 \leqq 2\sqrt{2}+1 \end{align}$$
$$ゆえに \ f\left( \theta\right) \ の最大値は \ 2\sqrt{2}+1$$
$$\begin{align}2 \lt &2\sqrt{2}=\sqrt{8} \lt 3 \\ 3 \lt &2\sqrt{2}+1 \lt 4 \\ ゆえに, \ m=&\color{#0004fc}{3} \end{align}$$

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また,\( \ 0 \leqq \theta \leqq \pi \ \)において,\( \ f\left( \theta\right)=3 \ \)となる\( \ \theta \ \)の値は,
小さい順に,\( \ \frac{ \pi }{ \color{#0004fc}{セ} } \ , \ \frac{ \pi }{ \color{#0004fc}{ソ} } \ \)である。

$$\begin{align}f\left( \theta\right)=&3 \\ 2\sqrt{2}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)+1=&3 \\ \sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)=&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }=&\frac{ \pi }{ 4 } \ , \ {\frac{ 3 }{ 4 }}\pi\\ \theta=&\frac{ \pi }{ \color{#0004fc}{4} } \ , \ \frac{ \pi }{ \color{#0004fc}{2} } \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

比較的易しめの問題だったのではないかと思います。
理系の人はスピーディに、文系の人は、確実に取っておきたい問題ですね。

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Posted by Lukia_74