【 10 / 12 】高校数学の「平面ベクトルの点Pの存在範囲」に関する問題を解いてみる。

ベクトル実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題

\( \ \triangle \mathrm{OAB} \ \)について点\( \ \mathrm{P} \ \)が
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \)
と \( \ -1 \leqq s \leqq 1 \ , \ -1 \leqq t \leqq 1 \ \)を満たしながら動くとき、
点\( \ \mathrm{P} \ \)の存在範囲を示せ。
( ただし\( \ s \ \) , \( \ t \ \) はともに実数とする )

解法

\( \ \triangle \mathrm{OAB} \ \)が\( \ xy \ \)平面上ならぬ\( \ st \ \)平面上にあるとし、グラフを描いて領域の問題として考えていきましょう。

\( \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert=1 \ \) (\( \ s=1 \ \))、
\( \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert=1 \ \) (\( \ t=1 \ \))とします。
\( \ st \ \)平面上に2つの領域\( \ -1 \leqq s \leqq 1 \ \)と\( \ -1 \leqq t \leqq 1 \ \)を描きます。
「平面ベクトルの点Pの存在範囲−10」のグラフ
求める領域は、四角形\( \ \mathrm{CDEF} \ \)の周上とその内部となります。
よって、こたえは「 四角形\( \ \mathrm{CDEF} \ \)の周上とその内部 」となります。
Lukia_74
Lukia
ベクトルと考えるから難しいのであって、 \( \ s \ \)と\( \ t \ \)に関する領域の問題。と考えればよいのではないかな。と思っています。
式変形はできたほうがいいに決まっていますが、この領域の問題。という考え方を確かめる術にしながら、式変形の練習をしていくのが習得の近道になるかも。

こたえ

四角形\( \ \mathrm{CDEF} \ \)の周上とその内部
「平面ベクトルの点Pの存在範囲−10」のグラフ

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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