高校数学の「二次関数の頂点・値域」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS

二次関数 , 放物線 , 頂点 , 軸 , 平方完成 , 定義域 , 値域 , フリーハンドでグラフを描く , 端点

問題

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二次関数\(f\left( x\right)=-2x^2+4x+3\) , \(g\left( x\right)=x^2-2ax+b\)がある。
ただし、\(a\) , \(b\)は定数とする。
2つのグラフ \(y=f\left( x\right)\) , \(y=g\left( x\right)\)の頂点が一致するとき、
\(a\) ,\(b\)の値を求めよ。
また、\(0 \leqq x \leqq 3\)のとき、
\(f\left( x\right)\)の値域を求めよ。

二次関数は、とにっかく、平方完成して軸と頂点を意識。

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Lukia

まずは、\(f\left( x\right)\)と\(g\left( x\right)\)のそれぞれを平方完成して、頂点、または軸を求めましょう。

$$\begin{align}f\left( x\right)=&-2x^2+4x+3 \\ =&-2\left( x^2-2x\right)+3 \\ =&-2\left( x-1\right)^2+5 \end{align}$$
$$ゆえに、軸はx=1 , 頂点は\left( 1 , 5\right)$$
$$\begin{align}g\left( x\right)=&x^2-2ax+b \\ =&\left( x-a\right)^2-a^2+b \end{align}$$
$$ゆえに、軸はx=a , 頂点は\left( a\quad ,\quad -a^2+b\right)$$

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Lukia

以下に示すグラフは、青い放物線が\(\color{blue}{f\left( x\right)}\)、
赤い放物線が\(\color{red}{g\left( x\right)}\)です。

♪

れもん

それぞれの二次関数を平方完成して、得られた頂点の座標の値がそれぞれ等しい。ということから、\(a\)と\(b\)の値を求めていくわけですね。

$$\begin{align}条件より、a=&1 \\ また、&\\ -a^2+b=&5 \\ b-1=&5\\ b=&6 \end{align}$$
$$以上より、a=1\quad,\quad b=6$$

フリーハンドでグラフを描けるようになろう。

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Lukia

大学入試センター試験の場合、ものさしやコンパスなどは持ち込み禁止です。ということは、フリーハンドで目盛りをうち、グラフを描けるようになっておく必要があります。
?

れもん

なるほど。
気を付けたほうがいいことってありますか?
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Lukia

さじ加減が難しいのですが、適度に正確、適度にアバウトということですかねぇ。
たとえば、\(y=6x^2\)なんてグラフですと、急激に大きくなってしまうので、\(x\)軸における幅\(1\)の目盛りと、\(y\)軸における幅\(1\)の目盛りを同じにしていたら、問題用紙の余白からはみ出してしまいます。
!!

れもん

たしかに。\(x=1\)のときは\(y=6\)ですが、
\(x=2\)のときは\(y=24\)なんて・・・
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Lukia

数学Ⅲの範囲でも、\(e\)が絡む問題では、まじめさがあだになることがあるんですね。
\(e\)は、およそ\(2.7\)ぐらいなんですけど、これをまじめに考えていると大変なことになってしまいます。
つまり、\(x\)軸の目盛りの幅はなるべく正確なほうがよいのですが、\(y\)軸のほうはわりとアバウトでもいいのです。
さっきの\(y=6x^2\)のグラフの\(y\)軸の目盛りは、\(x\)軸のひと目盛りの幅に\(6\)の幅を割り当ててもいいってことです。
こういう臨機応変な対応ができるかどうかが、高校数学レベルだと必要になってくるわけですね。
♪

れもん

ひとまず、\(x\)軸のひと目盛りの幅は均等にしようと思います。
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Lukia

さて、以下に示すグラフも、\(x\)軸と\(y\)軸の幅が異なっていますね。
そして、今回は、軸の\(\color{#00ff00}{x=1}\)緑の点線で示し、
定義域の右端にあたる\(\color{magenta}{x=3}\)をピンクの点線で示しています。

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Lukia

定義域\(0 \leqq x \leqq 3\) と、軸\(\color{#00ff00}{x=1}\)に関して気づくことはありませんか。
?

れもん

軸を境に定義域が\(1:2\)に分けられています。
軸の左側よりも、軸の右側の幅が広いですね。
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Lukia

では、定義域の左端、右端を「端点たんてん」と呼ぶことにしますが、それぞれの端点の\(y\)座標と、頂点の\(y\)座標との差のひらきぐあいはどうですか?
♪

れもん

左の端点は、\(2\)しか離れていないけれど、
右の端点は・・・\(8\)も離れています!
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Lukia

そう。つまり、軸から離れれば離れるほど、その\(y\)座標の値は極端になるわけですね。

$$\begin{align}&f\left( x\right)は、\\ &軸がx=1 \ にある、上に凸の関数なので、 \\ &0 \leqq x \leqq 3において最大値はf\left( 1\right)のときであり、\\ &最小値は、軸より離れた端点f\left( 3\right)である。 \end{align}$$
求める値域は、
$$\begin{align}f\left( 3\right) \leqq &y \leqq f\left( 0\right) \\ すなわち、& \\ -3 \leqq &y \leqq 5 \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}a=1\quad,\quad b=6 \\ \\ -3 \leqq y \leqq 5 \end{align}$$

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