高校数学の「分数型（？）の漸化式を数学的帰納法で示す」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「分数型（？）の漸化式を数学的帰納法で示す」問題を解いてみました。
問題
\( \ a_1= \ \)\(\Large \frac{1}{2}\), \( \ a_{n+1}= \ \)\(\Large \frac{a_n}{3a_n+1}\) を満たす数列の一般項が \( \ a_n= \ \)\(\Large \frac{1}{3n-1}\) であることを数学的帰納法を用いて表わせ。
解法
\( \ n=1 \ \) のとき
\( \ a_1= \ \)\(\Large \frac{1}{2}\)であるから、成り立つ。
いま、 \( \ n=k \ \) （ \( \ k \ \) は自然数 ）において
\( \ a_k= \ \)\(\Large \frac{1}{3k-1}\) が成り立つと仮定する。
\( \ n=k+1 \ \) のとき
$$\begin{align}a_{k+1}=&\frac{a_k}{3a_k+1} \\\\ =&\frac{\frac{1}{3k-1}}{\frac{3}{3k-1}+1} \\\\ =&\frac{1}{3k-1}\times \frac{3k-1}{3k+2}\\\\ =&\frac{1}{3k+2}\\\\ =&\frac{1}{3\left( k+1\right)-1} \end{align}$$ 以上より
すべての自然数において\( \ a_1= \ \)\(\Large \frac{1}{2}\), \( \ a_{n+1}= \ \)\(\Large \frac{a_n}{3a_n+1}\) を満たす数列の一般項は
\( \ a_n= \ \)\(\Large \frac{1}{3n-1}\) である。
\( \ a_1= \ \)\(\Large \frac{1}{2}\)であるから、成り立つ。
いま、 \( \ n=k \ \) （ \( \ k \ \) は自然数 ）において
\( \ a_k= \ \)\(\Large \frac{1}{3k-1}\) が成り立つと仮定する。
\( \ n=k+1 \ \) のとき
$$\begin{align}a_{k+1}=&\frac{a_k}{3a_k+1} \\\\ =&\frac{\frac{1}{3k-1}}{\frac{3}{3k-1}+1} \\\\ =&\frac{1}{3k-1}\times \frac{3k-1}{3k+2}\\\\ =&\frac{1}{3k+2}\\\\ =&\frac{1}{3\left( k+1\right)-1} \end{align}$$ 以上より
すべての自然数において\( \ a_1= \ \)\(\Large \frac{1}{2}\), \( \ a_{n+1}= \ \)\(\Large \frac{a_n}{3a_n+1}\) を満たす数列の一般項は
\( \ a_n= \ \)\(\Large \frac{1}{3n-1}\) である。
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