高校数学の「指数・対数の応用(複利計算)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

指数と対数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 指数・対数 , 年率計算 , 複利計算 , 数学検定2級

問題

problem

 

ある国ではこの数年間に石油の消費量が1年に\(25\)%ずつ増加しているとして以下の問いに答えよ.
(1) このままの状態で石油の消費量が増加し続けると,3年後には現在の消費量の約何倍になるか.自然数で答えよ.
(2) 石油の消費量が初めて現在の10倍以上になるのは何年後か.自然数で答えよ.
ただし,\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \)とする.

(1)は単なる指数計算してしまいましょう。

$$\begin{align}\left( 1.25\right)^3=&\left( \frac{5}{4}\right)^3 \\\\ =&\frac{125}{64} \\\\ \fallingdotseq &1.95 \\\\ \\\\ ゆえに \ &2倍 \end{align}$$

(2)は対数を取って計算する。

$$\begin{align}10=&\left( 1.25\right)^n \\\\ 両辺の&対数を取ると, \\\\ \log_{10}10=&\log_{10}\left( 1.25\right)^n\\\\ 1=&n\log_{10}\frac{5}{4}=n\log_{10}\frac{10}{8}\\\\ 1=&n\left( 1-3\log_{10}2\right)\\\\ 1=&n\left( 1-3\times 0.3010\right)\\\\ 1=&0.097n\\\\ n \fallingdotseq &10.3\\\\ \\\\ ゆえに \ &11年後 \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)\quad \quad &2倍 \\\\ \left( 2\right)\quad \quad &11年後 \end{align}$$

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