高校数学の「逆数型?の漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「逆数型?の漸化式」に関する問題を解いてみました。

問題

$$a_1=2,\quad a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n}{a_n+5} \ \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right)$$
で定められる数列 がある。

(1) \(\displaystyle\frac{1}{a_n}\)\( \ =b_n \ \) とするとき、 \( \ b_{n+1} \ \) を \( \ b_n \ \) を用いて表わせ。

(2) 数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) の一般項を求めよ。

解法

(1)
$$\begin{align}b_n=&\displaystyle\frac{1}{a_n}\quad とすると \\\\ b_{n+1}=&\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}} \\\\ =&\displaystyle\frac{a_n+5}{a_n}\\\\ =&1+\displaystyle\frac{5}{a_n}\\\\ =&5b_n+1 \end{align}$$
以上より
$$b_{n+1}=5b_n+1$$

(2)

$$b_1=\displaystyle\frac{1}{2}, b_{n+1}=5b_n+1$$ $$\begin{align}\left( b_{n+1}-\alpha\right)=&5\left( b_{n}-\alpha\right) \\\\ ここで& \\\\ -5\alpha+\alpha=&1\\\\ \alpha=&-\displaystyle\frac{1}{4} \quad より\\\\ \left( b_{n+1}+\displaystyle\frac{1}{4}\right)=&5\left( b_{n+1}+\displaystyle\frac{1}{4}\right) \end{align}$$
ここで
$$c_n=b_n+\displaystyle\frac{1}{4},\quad 特に \ c_1=\displaystyle\frac{3}{4}\quad とする。$$ $$\begin{align}c_n=&\displaystyle\frac{3}{4}\cdot 5^{n-1} \\\\ b_n=&\displaystyle\frac{3}{4}\cdot 5^{n-1}-\displaystyle\frac{1}{4} \\\\ a_n=&\displaystyle\frac{1}{b_n}\quad より\\\\ a_n=&\displaystyle\frac{4}{3\cdot 5^{n-1}-1} \end{align}$$

こたえ

$$\Large a_n=\displaystyle\frac{4}{3\cdot 5^{n-1}-1}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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