高校数学の「逆数型？の漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「逆数型？の漸化式」に関する問題を解いてみました。
問題
$$a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+5} \ \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right)$$
で定められる数列 がある。
で定められる数列 がある。
(1) \(\Large \frac{1}{a_n}\)\( \ =b_n \ \) とするとき、 \( \ b_{n+1} \ \) を \( \ b_n \ \) を用いて表わせ。
(2) 数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) の一般項を求めよ。
解法
(1)
$$\begin{align}b_n=&\frac{1}{a_n}\quad とすると \\\\ b_{n+1}=&\frac{1}{a_{n+1}} \\\\ =&\frac{a_n+5}{a_n}\\\\ =&1+\frac{5}{a_n}\\\\ =&5b_n+1 \end{align}$$
以上より
$$b_{n+1}=5b_n+1$$
ここで$$\begin{align}b_n=&\frac{1}{a_n}\quad とすると \\\\ b_{n+1}=&\frac{1}{a_{n+1}} \\\\ =&\frac{a_n+5}{a_n}\\\\ =&1+\frac{5}{a_n}\\\\ =&5b_n+1 \end{align}$$
以上より
$$b_{n+1}=5b_n+1$$
(2)
$$b_1=\frac{1}{2}, b_{n+1}=5b_n+1$$ $$\begin{align}\left( b_{n+1}-\alpha\right)=&5\left( b_{n}-\alpha\right) \\\\ ここで& \\\\ -5\alpha+\alpha=&1\\\\ \alpha=&-\frac{1}{4} \quad より\\\\ \left( b_{n+1}+\frac{1}{4}\right)=&5\left( b_{n+1}+\frac{1}{4}\right) \end{align}$$$$c_n=b_n+\frac{1}{4},\quad 特に \ c_1=\frac{3}{4}\quad とする。$$ $$\begin{align}c_n=&\frac{3}{4}\cdot 5^{n-1} \\\\ b_n=&\frac{3}{4}\cdot 5^{n-1}-\frac{1}{4} \\\\ a_n=&\frac{1}{b_n}\quad より\\\\ a_n=&\frac{4}{3\cdot 5^{n-1}-1} \end{align}$$
こたえ
$$\Large a_n=\frac{4}{3\cdot 5^{n-1}-1}$$
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