高校数学の「極値と積分(ⅡBレベル)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

微分と積分Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 微分 , 積分 , 数学検定2級

問題

problem

 

\(f\left( x\right)=\int_1^x \left( 3t^2+at+b\right) dt\)が\(x=-3, \ 1\)で極値をとるとき、
\(a=[ \ ト \ ], \ b=[ナニ]\)であり、\(f\left( 0\right)=[ヌ]\)である.
\(f\left( x\right)\)の極大値は[ネノ]であり、極小値は[ハ]である.

$$\begin{align}g\left( t\right)=&3t^2+at+b\quad の原関数を \ G\left( t\right) \ とする. \\\\ f\left( x\right)=&G\left( x\right)-G\left( 1\right) より\\\\ f'(x)=&g\left( x\right)\\\\ =&3x^2+ax+b=3\left( x+3\right)\left( x-1\right)\\\\ &3x^2+ax+b=3x^2+6x-9\\\\ \\\\ ゆえに&a=6 \ , \ b=-9 \end{align}$$
ここで、
$$\begin{align}f\left( x\right)=&x^3+3x^2-9x+5\quad より \\\\ f\left( 0\right)=&5\end{align}$$
増減表は以下の通り.

$$x$$ $$-3$$ $$1$$
$$f’\left( x\right)$$ $$+$$ $$0$$ $$-$$ $$0$$ $$+$$
$$f\left( x\right)$$ $$32$$ $$0$$

ゆえに、
$$極大値は \ 32 \ , \ 極小値 \ 0$$

こたえ

記号 ナニ ネノ
こたえ $$6$$ $$-9$$ $$5$$ $$32$$ $$0$$

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