高校数学の「部分和の差から一般項を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「部分和の差から一般項を求める」問題を解いてみました。

問題

数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) ( \( \ n=1 \ \), \( \ 2 \ \), \( \ 3 \ \), \( \ \cdots \ \) )に対して、
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{a_k}{k}}=3n\left( n+2\right)\quad \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right)$$
が成り立っているとき、一般項 \( \ a_n \ \) を求めよ。

解法

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{a_k}{k}}=3n\left( n+2\right)=\mathrm{S}_n\quad とする。$$
$$\begin{align}\mathrm{S}_{n-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{\displaystyle\frac{a_k}{k}}=&3\left( n-1\right)\left( n-1+2\right) \\\\ =&3\left( n-1\right)\left( n+1\right) \end{align}$$

\( \ \mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} \ \) をする。
$$\begin{align}\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} =&3n^2+6n-\left( 3n^2-3\right) \\\\ =&6n+3 \end{align}$$

こたえ

\( \ a_n=6n+3 \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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