高校数学の「部分和の差から一般項を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「部分和の差から一般項を求める」問題を解いてみました。
問題
数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) （ \( \ n=1 \ \), \( \ 2 \ \), \( \ 3 \ \), \( \ \cdots \ \) ）に対して、
$$\sum_{k=1}^{n}{\frac{a_k}{k}}=3n\left( n+2\right)\quad \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right)$$
が成り立っているとき、一般項 \( \ a_n \ \) を求めよ。
$$\sum_{k=1}^{n}{\frac{a_k}{k}}=3n\left( n+2\right)\quad \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right)$$
が成り立っているとき、一般項 \( \ a_n \ \) を求めよ。
解法
$$\sum_{k=1}^{n}{\frac{a_k}{k}}=3n\left( n+2\right)=\mathrm{S}_n\quad とする。$$
$$\begin{align}\mathrm{S}_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{a_k}{k}}=&3\left( n-1\right)\left( n-1+2\right) \\\\ =&3\left( n-1\right)\left( n+1\right) \end{align}$$
$$\begin{align}\mathrm{S}_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{a_k}{k}}=&3\left( n-1\right)\left( n-1+2\right) \\\\ =&3\left( n-1\right)\left( n+1\right) \end{align}$$
\( \ \mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} \ \) をする。
$$\begin{align}\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} =&3n^2+6n-\left( 3n^2-3\right) \\\\ =&6n+3 \end{align}$$
こたえ
\( \ a_n=6n+3 \ \)
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