高校数学の「一次式を含んだ漸化式」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年1月19日2021年6月12日数列実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級

問題

 

数列 \(\lbrace a_n\rbrace \ \)が\( \ a_1=\frac{1}{2}\), \(\quad a_{n+1}=3a_n+2n-1 \ \)であるとき,
\( \ a_n \ \)を\( \ n \ \)を用いて表せ.

$$\begin{align}b_n=&a_n+\alpha n+\beta\quad とおく.\quad \left( \alpha, \ \beta \ は実数.\right) \\\\ \lbrace a_{n+1}+\alpha\left( n+1\right)+\beta\rbrace=&3\lbrace a_n+\alpha n+\beta\rbrace \end{align}$$
$$\begin{align}3\alpha n+3\beta-\alpha n-\alpha-\beta=&2n-1 \\\\ 2\alpha n-\alpha+2\beta=&2n-1\\\\ \\\\ \alpha=&1 \ , \ \beta=0\\\\ ゆえに, \ &b_n=a_n+n\quad である. \end{align}$$
$$\begin{align}b_1=&\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2} \\\\ b_{n+1}=&3b_n \ より \\\\ b_n=&\frac{3}{2}\cdot 3^{n-1}=\frac{1}{2}\cdot 3^n \end{align}$$
$$\begin{align}b_n=&a_n+n \ より \\\\ a_n=&b_n-n \\\\ a_n=&\frac{1}{2}\left( 3^n-2n\right) \end{align}$$

こたえ

$$a_n=\frac{1}{2}\left( 3^n-2n\right)$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。