高校数学の「一次式を含んだ漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 数列 , 漸化式 , 一次式を含む , 数学検定2級

問題

problem

数列 \(\lbrace a_n\rbrace \ \)が\( \ a_1=\frac{1}{2}\), \(\quad a_{n+1}=3a_n+2n-1 \ \)であるとき,
\( \ a_n \ \)を\( \ n \ \)を用いて表せ.

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$$\begin{align}b_n=&a_n+\alpha n+\beta\quad とおく.\quad \left( \alpha, \ \beta \ は実数.\right) \\ \lbrace a_{n+1}+\alpha\left( n+1\right)+\beta\rbrace=&3\lbrace a_n+\alpha n+\beta\rbrace \end{align}$$
$$\begin{align}3\alpha n+3\beta-\alpha n-\alpha-\beta=&2n-1 \\ 2\alpha n-\alpha+2\beta=&2n-1\\ \\ \alpha=&1 \ , \ \beta=0\\ ゆえに, \ &b_n=a_n+n\quad である. \end{align}$$
$$\begin{align}b_1=&\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2} \\ b_{n+1}=&3b_n \ より \\ b_n=&\frac{3}{2}\cdot 3^{n-1}=\frac{1}{2}\cdot 3^n \end{align}$$
$$\begin{align}b_n=&a_n+n \ より \\ a_n=&b_n-n \\ a_n=&\frac{1}{2}\left( 3^n-2n\right) \end{align}$$

こたえ


$$a_n=\frac{1}{2}\left( 3^n-2n\right)$$

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