高校数学の「一次式を含んだ漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

\( \ a_n \ \)を\( \ n \ \)を用いて表せ.
$$\begin{align}b_n=&a_n+\alpha n+\beta\quad とおく.\quad \left( \alpha, \ \beta \ は実数.\right) \\\\ \lbrace a_{n+1}+\alpha\left( n+1\right)+\beta\rbrace=&3\lbrace a_n+\alpha n+\beta\rbrace \end{align}$$
$$\begin{align}3\alpha n+3\beta-\alpha n-\alpha-\beta=&2n-1 \\\\ 2\alpha n-\alpha+2\beta=&2n-1\\\\ \\\\ \alpha=&1 \ , \ \beta=0\\\\ ゆえに, \ &b_n=a_n+n\quad である. \end{align}$$
$$\begin{align}b_1=&\displaystyle\frac{1}{2}+1=\displaystyle\frac{3}{2} \\\\ b_{n+1}=&3b_n \ より \\\\ b_n=&\displaystyle\frac{3}{2}\cdot 3^{n-1}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 3^n \end{align}$$
$$\begin{align}b_n=&a_n+n \ より \\\\ a_n=&b_n-n \\\\ a_n=&\displaystyle\frac{1}{2}\left( 3^n-2n\right) \end{align}$$
こたえ
$$a_n=\displaystyle\frac{1}{2}\left( 3^n-2n\right)$$