高校数学の「無限等比級数の和と部分和の差」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より) Y
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「無限等比級数の和と部分和の差」に関する問題を解いてみました。
問題
初項 \( \ 1 \ \) , 公比 \(\Large \frac{1}{7}\) の無限等比級数の和 \( \ \mathrm{S} \ \) と,初項から第 \( \ n \ \) 項までの部分和 \( \ \mathrm{S}_n \ \) との差が,初めて \(\Large \frac{1}{1000}\) より小さくなるような \( \ n \ \) の値を求めよ。
解法
\( \ a_n=\left( \frac{1}{7}\right)^{n-1} \ \) とすると
$$\begin{align}\mathrm{S}_n=&\sum_{k=1}^{n}{\left( \frac{1}{7}\right)^{k-1}} \\\\ =&-\frac{7}{6}\cdot \left( \frac{1}{7}\right)^n+\frac{7}{6} \end{align}$$ また、
$$\begin{align}\mathrm{S}=&\displaystyle \lim_{n\to \infty } {\mathrm{S}_n} \\\\ =&\displaystyle \lim_{n\to \infty } {-\frac{7}{6}\cdot \left( \frac{1}{7}\right)^n+\frac{7}{6}} \\\\ =&\frac{7}{6} \end{align}$$
$$\begin{align}\mathrm{S}-\mathrm{S}_n \lt &\frac{1}{1000}\quad を解く。 \\\\ \frac{7}{6}-\lbrace -\frac{7}{6}\cdot \left( \frac{1}{7}\right)^n+\frac{7}{6} \rbrace \lt &\frac{1}{1000} \\\\ \left( \frac{1}{7}\right)^{n-1} \lt &\frac{6}{1000} \\\\ ここで&両辺の逆数をとる\\\\ 7^{n-1} \gt &\frac{500}{3} \sim 166.66\cdots\\\\ 7^2=49 \lt &\frac{500}{3}\\\\ 7^3=343 \gt &\frac{500}{3}\quad だから\\\\ n-1=&3\\\\ n=&4 \end{align}$$
$$\begin{align}\mathrm{S}_n=&\sum_{k=1}^{n}{\left( \frac{1}{7}\right)^{k-1}} \\\\ =&-\frac{7}{6}\cdot \left( \frac{1}{7}\right)^n+\frac{7}{6} \end{align}$$ また、
$$\begin{align}\mathrm{S}=&\displaystyle \lim_{n\to \infty } {\mathrm{S}_n} \\\\ =&\displaystyle \lim_{n\to \infty } {-\frac{7}{6}\cdot \left( \frac{1}{7}\right)^n+\frac{7}{6}} \\\\ =&\frac{7}{6} \end{align}$$
$$\begin{align}\mathrm{S}-\mathrm{S}_n \lt &\frac{1}{1000}\quad を解く。 \\\\ \frac{7}{6}-\lbrace -\frac{7}{6}\cdot \left( \frac{1}{7}\right)^n+\frac{7}{6} \rbrace \lt &\frac{1}{1000} \\\\ \left( \frac{1}{7}\right)^{n-1} \lt &\frac{6}{1000} \\\\ ここで&両辺の逆数をとる\\\\ 7^{n-1} \gt &\frac{500}{3} \sim 166.66\cdots\\\\ 7^2=49 \lt &\frac{500}{3}\\\\ 7^3=343 \gt &\frac{500}{3}\quad だから\\\\ n-1=&3\\\\ n=&4 \end{align}$$
こたえ
$$\Large n=4$$
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