高校数学の「無限等比級数の和と部分和の差」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より) Y

関数と極限実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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問題

初項 \( \ 1 \ \) , 公比 \(\displaystyle\frac{1}{7}\) の無限等比級数の和 \( \ \mathrm{S} \ \) と,初項から第 \( \ n \ \) 項までの部分和 \( \ \mathrm{S}_n \ \) との差が,初めて \(\displaystyle\frac{1}{1000}\) より小さくなるような \( \ n \ \) の値を求めよ。

解法

\( \ a_n=\left( \displaystyle\frac{1}{7}\right)^{n-1} \ \) とすると
$$\begin{align}\mathrm{S}_n=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left( \displaystyle\frac{1}{7}\right)^{k-1}} \\\\ =&-\displaystyle\frac{7}{6}\cdot \left( \displaystyle\frac{1}{7}\right)^n+\displaystyle\frac{7}{6} \end{align}$$ また、
$$\begin{align}\mathrm{S}=&\displaystyle \lim_{n\to \infty } {\mathrm{S}_n} \\\\ =&\displaystyle \lim_{n\to \infty } {-\displaystyle\frac{7}{6}\cdot \left( \displaystyle\frac{1}{7}\right)^n+\displaystyle\frac{7}{6}} \\\\ =&\displaystyle\frac{7}{6} \end{align}$$
$$\begin{align}\mathrm{S}-\mathrm{S}_n \lt &\displaystyle\frac{1}{1000}\quad を解く。 \\\\ \displaystyle\frac{7}{6}-\lbrace -\displaystyle\frac{7}{6}\cdot \left( \displaystyle\frac{1}{7}\right)^n+\displaystyle\frac{7}{6} \rbrace \lt &\displaystyle\frac{1}{1000} \\\\ \left( \displaystyle\frac{1}{7}\right)^{n-1} \lt &\displaystyle\frac{6}{1000} \\\\ ここで&両辺の逆数をとる\\\\ 7^{n-1} \gt &\displaystyle\frac{500}{3} \fallingdotseq 166.66\cdots\\\\ 7^2=49 \lt &\displaystyle\frac{500}{3}\\\\ 7^3=343 \gt &\displaystyle\frac{500}{3}\quad だから\\\\ n-1=&3\\\\ n=&4 \end{align}$$

こたえ

$$\Large n=4$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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