高校数学の「放物線の各項の定数を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準2級

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問題

放物線 \( \ y=ax^2+bx+c \ \) が2点\( \ \mathrm{A}\left( -1 \ , \ 0\right) \ \) , \( \ \mathrm{B}\left( 2 \ ,-3\right) \ \) を通り,直線 \( \ y=1 \ \) とただ1つの共有点をもつとき,この放物線の方程式を求めよ.

解法

2点\( \ \mathrm{A} \ \) , \( \ \mathrm{B} \ \) と放物線が直線 \( \ y=1 \ \)とただ1つの共有点を持つという条件から、
放物線は上に凸 すなわち \( \ a \lt 0 \ \) である必要がある。
2つの点と直線から放物線の凸の方向を判別する

放物線の式に点\( \ \mathrm{A} \ \) , 点\( \ \mathrm{B} \ \)の値をそれぞれ代入する.
\( \ a-b+c=0 \ \cdots \ ① \ \)
\( \ 4a+2b+c=-3 \ \cdots \ ② \ \)
①\( \ \times 2+ \ \)②より
\( \ 2a+c=-1 \ \)
変形して、\( \ c=-1-2a \ \)

また①より
\( \ b=a+c=-a-1 \ \)


放物線と直線 \( \ y=1 \ \) が1つの共有点をもつとき、
\( \ ax^2+bx+c-1=0 \ \)が成り立つ。
この2次方程式の判別式を\( \ \mathrm{D} \ \)とすると、
$$\begin{align}\mathrm{D}=&b^2-4a\left( c-1\right)=0 \\\\
=&\left( -a-1\right)^2-4a\left( -1-2a-1\right)=0 \\\\
=&9a^2+10a+1=0\\\\
=&\left( a+1\right)\left( 9a+1\right)=0\\\\
a=&1 \ , \ a=-\displaystyle\frac{1}{9} \end{align}$$
2つの解はいずれも \( \ a \lt 0 \ \) を満たすので、放物線は2つあると推定できる。


ⅰ)\( \ a=-1 \ \) のとき
\( \ b=-a-1=0 \ \)
\( \ c=-1-2a=-1+2=1 \ \)
ゆえに求める放物線は \( \ y=-x^2+1 \ \)

ⅱ)\( \ a=- \ \)\(\displaystyle\frac{1}{9}\) のとき
\( \ b=- \ \)\(\displaystyle\frac{8}{9}\)
\( \ c=- \ \)\(\displaystyle\frac{7}{9}\)
ゆえに求める放物線は \( \ y=- \ \)\(\displaystyle\frac{1}{9}\)\( \ \left( x^2+8x+7\right) \ \)

条件を満たす2つの放物線

こたえ

\( \ y=-x^2+1 \ \)
\( \ y=- \ \)\(\displaystyle\frac{1}{9}\)\( \ \left( x^2+8x+7\right) \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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