高校数学の「積分」に関する問題を解いてみる。ちょっともっさりバージョン(Yahoo!知恵袋より)

2018年10月16日微分と積分実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級

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問題
次の関係式を満たす定数\(a\)および関数\(g\left( x\right)\)を求めよ。
\(\displaystyle\int_{a}^{x} \lbrace g\left( t\right)+tg\left( a\right)\rbrace dt=x^2-2x-3\)

解法

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Lukia

左辺を積分したら、\(x^2-2x-3\)になるのですから、
\(g\left( x\right)=kx+l\)と考えることができます。

$$\begin{align}g\left( x\right)=&kx+l とする。\\\\ &k , l は実数。ただしk \neq 0 \end{align}$$

$$\begin{align}\displaystyle\int_{a}^{x} \left( kt+l+g\left( a\right)t\right) dt=&\displaystyle\int_{a}^{x} \lbrace \left( g\left( a\right)+k\right)t+l\rbrace dt \\\\ =&\left[\left( g\left( a\right)+k\right)\cdot \displaystyle\frac{1}{2}t^2+lt\right]_{a}^{x}
\\\\ =&\left( g\left( a\right)+k\right)\cdot \displaystyle\frac{1}{2}x^2+lx-\left( g\left( a\right)+k\right)\cdot \displaystyle\frac{a^2}{2}-la \cdots☆\end{align}$$

$$\begin{align}両辺をxで微分すると&、
\\\\ \left( g\left( a\right)+k\right)x+l=&2x-2 より、
\\\\ g\left( a\right)+k=&2\\\\l=-2 \end{align}$$
$$\begin{align}これを☆に代入して両辺を&比較する。
\\\\ \left( g\left( a\right)+k\right)\cdot \displaystyle\frac{a^2}{2}+la=2\cdot\displaystyle\frac{a^2}{2}-2a=&3
\\\\ a^2-2a-3=&0 \\\\ \left( a-3\right)\left( a+1\right)=&0\\\\a=3,a=-1\end{align}$$

a=3のとき

$$a=3のとき、g\left( a\right)=3k-2 とあらわせる。$$
$$\begin{align}\displaystyle\int_{3}^{x} \lbrace \left( 4k-2\right)t-2\rbrace dt=&\left[\left( 2k-1\right)t^2-2t\right]_{3}^{x}
\\\\=&\left( 2k-1\right)x^2-2x-\left( 2k-1\right)\cdot 9+2\cdot 3 \end{align}$$

両辺を比較する。

$$\left(2k-1\right)x^2-2x-\left(2k-1\right)\cdot 9+2\cdot 3=x^2-2x-3$$
$$\begin{align}2k-1=&1 \\\\ k=&1 \ \\\\ ゆえに、g\left( x\right)&=x-2,\\\\ a &=3 \end{align}$$

a=-1のとき

$$\begin{align}a=-1のとき,&\\\\ g\left( a\right)=-k-2 \\\\ \displaystyle\int_{-1}^{x} \left( -2t-2\right) dt =&-2\displaystyle\int_{-1}^{x} \left( t+1\right) dt -2\left[\displaystyle\frac{1}{2}t^2+t\right]_{-1}^{x}\\\\ =&-2\left( \displaystyle\frac{1}{2}x^2+x-\displaystyle\frac{3}{2}\right)\\\\ =&-x^2-2x+3\color{red}{ \neq右辺}\end{align}$$
$$ゆえに、a=-1 は不適。$$

$$\begin{align}以上より、g\left( x\right)=&x-2
\\\\ a=&3\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}g\left( x\right)=&x-2
\\\\ a=&3
\end{align}$$

もう少しスマートな解き方はないのか。

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Lukia

式を仮定して、積分したり微分したりすることによって、定数を求めていくわけですが、なんとなくもっさりしてるなぁ。と思ってしまいましたので、
別の解き方も示したいと思います。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年10月16日微分と積分実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級

Posted by Lukia_74