高校数学の「積分」に関する問題を解いてみる。ちょっともっさりバージョン(Yahoo!知恵袋より)

2018年10月16日微分と積分Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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問題

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次の関係式を満たす定数\(a\)および関数\(g\left( x\right)\)を求めよ。
\(\Large \int_{a}^{x} \lbrace g\left( t\right)+tg\left( a\right)\rbrace dt=x^2-2x-3\)

解法

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Lukia

左辺を積分したら、\(x^2-2x-3\)になるのですから、
\(g\left( x\right)=kx+l\)と考えることができます。

$$\begin{align}g\left( x\right)=&kx+l とする。\\ &k , l は実数。ただしk \neq 0 \end{align}$$

$$\begin{align}\int_{a}^{x} \left( kt+l+g\left( a\right)t\right) dt=&\int_{a}^{x} \lbrace \left( g\left( a\right)+k\right)t+l\rbrace dt \\ =&\left[\left( g\left( a\right)+k\right)\cdot \frac{1}{2}t^2+lt\right]_{a}^{x}
\\ =&\left( g\left( a\right)+k\right)\cdot \frac{1}{2}x^2+lx-\left( g\left( a\right)+k\right)\cdot \frac{a^2}{2}-la \cdots☆\end{align}$$

$$\begin{align}両辺をxで微分すると&、
\\ \left( g\left( a\right)+k\right)x+l=&2x-2 より、
\\ g\left( a\right)+k=&2\\l=-2 \end{align}$$
$$\begin{align}これを☆に代入して両辺を&比較する。
\\ \left( g\left( a\right)+k\right)\cdot \frac{a^2}{2}+la=2\cdot\frac{a^2}{2}-2a=&3
\\ a^2-2a-3=&0 \\\left( a-3\right)\left( a+1\right)=&0\\a=3,a=-1\end{align}$$

a=3のとき

$$a=3のとき、g\left( a\right)=3k-2 とあらわせる。$$
$$\begin{align}\int_{3}^{x} \lbrace \left( 4k-2\right)t-2\rbrace dt=&\left[\left( 2k-1\right)t^2-2t\right]_{3}^{x}
\\=&\left( 2k-1\right)x^2-2x-\left( 2k-1\right)\cdot 9+2\cdot 3 \end{align}$$

両辺を比較する。

$$\left(2k-1\right)x^2-2x-\left(2k-1\right)\cdot 9+2\cdot 3=x^2-2x-3$$
$$\begin{align}2k-1=&1 \\ k=&1 \\ \\ ゆえに、g\left( x\right)&=x-2,\\ a &=3 \end{align}$$

a=-1のとき

$$\begin{align}a=-1のとき,&g\left( a\right)=-k-2 \\ \int_{-1}^{x} \left( -2t-2\right) dt=& \\ =&-2\int_{-1}^{x} \left( t+1\right) dt\\ -2\left[\frac{1}{2}t^2+t\right]_{-1}^{x}\\ =&-2\left( \frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}\right)\\ =-x^2-2x+3\color{red}{ \neq右辺}\end{align}$$
$$ゆえに、a=-1 は不適。$$

$$\begin{align}以上より、g\left( x\right)=&x-2
\\ a=&3\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}g\left( x\right)=&x-2
\\ a=&3
\end{align}$$

もう少しスマートな解き方はないのか。

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Lukia

式を仮定して、積分したり微分したりすることによって、定数を求めていくわけですが、なんとなくもっさりしてるなぁ。と思ってしまいましたので、
別の解き方も示したいと思います。

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Posted by Lukia_74