2019年大学入試センター試験 数学2B「第1問 指数・対数」を解いてみる。

2019年1月24日指数と対数数学, 数学検定, 数検2級

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連立方程式
\( \ \log_{2}\left( x+2\right)-2\log_{4}\left( y+3\right)=-1 \quad \cdots\cdots \ ② \ \)

\( \ \left( \frac{1}{3}\right)^y-11\left( \frac{1}{3}\right)^{x+1}+6=0\quad \cdots\cdots \ ③ \ \)
を満たす実数\( \ x \ , \ y \ \)を求めよう。

真数の条件により,\( \ x \ , \ y \ \)のとり得る値の範囲は\( \ \color{#0004fc}{タ} \ \)である。(中略)
ただし,対数\( \ \log_{a}b \ \)に対し,\( \ a \ \)を底といい,\( \ b \ \)を真数という。

真数は常に正であるので,
$$\begin{align}x+2 \gt 0& \ \ かつ \ \ y+3 \gt 0 \\ \color{#0004fc}{x \gt -2}& \ \ かつ \ \ \color{#0004fc}{y \gt -3}\end{align}$$

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底の変換公式により
\( \ \log_{4}\left( y+3\right)=\frac{\log_{2}\left( y+3\right)}{\color{#0004fc}{チ}} \ \)  である。
よって, ②から
\( \ y=\color{#0004fc}{ツ}x+\color{#0004fc}{テ}\quad \cdots\cdots \ ④ \ \)  が得られる。

$$\begin{align}\log_{4}\left( y+3\right)=&\frac{\log_{2}\left( y+3\right)}{\log_{2}2^2}=\frac{\log_{2}\left( y+3\right)}{\color{#0004fc}{2}}\end{align}$$
これを②に代入する。
$$\begin{align}\log_{2}\left( x+2\right)-2\log_{4}\left( y+3\right)=&-1 \\ \log_{2}\left( x+2\right)-2\cdot \frac{\log_{2}\left( y+3\right)}{2}=&-\log_{2}2 \\ \log_{2}\left( y+3\right)=&\log_{2}\left( x+2\right)+\log_{2}2=\log_{2}2\left( x+2\right)\\ \\ y+3=&2\left( x+2\right)\\ y=&\color{#0004fc}{2}x+\color{#0004fc}{1}\quad \cdots\cdots \ ④ \end{align}$$

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次に,\( \ t=\left( \frac{1}{3}\right)^x \ \)とおき, ④ を用いて ③ を\( \ t \ \)の方程式に書き直すと
\( \ t^2-\color{#0004fc}{トナ}t+\color{#0004fc}{ニヌ}=0\quad \cdots\cdots \ ⑤ \ \) が得られる。
また,\( \ x \ \)が\( \ x \gt -2 \ , \ y \gt -3 \ \)における\( \ x \ \)の範囲を動くとき,\( \ t \ \)のとり得る値の範囲は
\( \ \color{#0004fc}{ネ} \lt t \lt \color{#0004fc}{ノ}\quad \cdots\cdots \ ⑥ \ \) である。

$$\begin{align}\left( \frac{1}{3}\right)^y-11\left( \frac{1}{3}\right)^{x+1}+6=&0\quad \cdots\cdots \ ③ \\ \left( \frac{1}{3}\right)^{2x+1}-\frac{11}{3}\left( \frac{1}{3}\right)^x+6=&0 \\ \frac{1}{3}\left( \frac{1}{3}\right)^{2x}-\frac{11}{3}\left( \frac{1}{3}\right)^x+6=&0\\ \left( \frac{1}{3}\right)^{2x}-11\left( \frac{1}{3}\right)^x+18=&0\\ \\ t^2-\color{#0004fc}{11}t+\color{#0004fc}{18}=&0\quad \cdots\cdots \ ⑤ \end{align}$$
$$t=\left( \frac{1}{3}\right)^x\quad \left( -2 \lt x\right)\quad のグラフは以下の通り。$$

$$ゆえに\quad \color{#0004fc}{0} \lt t \lt \color{#0004fc}{9}\quad \cdots\cdots \ ⑥$$

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⑥ の範囲で方程式 ⑤ を解くと,\( \ t=\color{#0004fc}{ハ} \ \)となる。
したがって,連立方程式 ② , ③ を満たす実数\( \ x \ , \ y \ \)の値は
\( \ x=\log_{3}\color{#0004fc}{\frac{ヒ}{フ}} \ , \ y=\log_{3}\color{#0004fc}{\frac{ヘ}{ホ}} \ \) であることがわかる。

$$\begin{align}t^2-11t+18=0 \ & \ \left( 0 \lt t \lt 9\right) \\ \left( t-2\right)\left( t-9\right)=0 \ & \\ t=&2 \ , \ 9\\ 範囲より&\quad t=\color{#0004fc}{2}\end{align}$$

$$\begin{align}t=2=&\left( \frac{1}{3}\right)^x=\left( 3^{-1}\right)x \\ 2=&3^{-x} \\ -x=&\log_{3}2\\ x=&-\log_{3}2\\ x=&\log_{3}\color{#0004fc}{\frac{1}{2}} \end{align}$$

$$\begin{align}y=&2x+1 \\ =&2\log_{3}\frac{1}{2}+\log_{3}3 \\ =&\log_{3}\left( \frac{1}{4}\times 3\right)\\ =&\log_{3}\color{#0004fc}{\frac{3}{4}} \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

\( \ t \ \)の値の範囲を出すため、グラフを描きましたが、試験中には、そんな時間はないかもしれません。
そこで、ふだんの勉強では、雰囲気がわかる程度のグラフを描くようにしておくとよいと思います。
何度かやっておくと、脳内にグラフが描けるようになります。

2019年大学入試センター試験の数学の問題の一覧です。

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Posted by Lukia_74