高校数学の「積分」に関する問題を解いてみる。ちょっとスマートバージョン（Yahoo!知恵袋より）

2018年10月16日2023年1月15日微分と積分実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級

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解法

$$\begin{align}\color{blue}{f\left( t\right)}=&g\left( t\right)+tg\left( a\right) とし、\\\\ \ \color{blue}{f\left( t\right)}の&原関数を\color{blue}{\mathrm{F}\left( t\right)} とする。\end{align}$$

$$\mathrm{F}\left( t\right)$$	→ 微分 →	$$\mathrm{F′}\left( t\right)=f\left( t\right)$$
$$\mathrm{F}\left( t\right)$$	← 積分 ←	$$\int f\left( t\right) dt$$	積分定数Cは省略

$$\begin{align}\color{blue}{f\left( t\right)}=&g\left( t\right)+tg\left( a\right) とし、\\\\ \ \color{blue}{f\left( t\right)}の&原関数を\color{blue}{\mathrm{F}\left( t\right)} とする。\end{align}$$ 与式は以下のように書き換えられる。
$$\begin{align}\int_{a}^{x} f\left( t\right) dt=&x^2-2x-3\\\\ \ \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( a\right)=&x^2-2x-3 \ \\\\ ここで両辺をx&で微分すると\\\\ \ f\left( x\right)=&2x-2 と推定される。\end{align}$$ これにより、
$$\begin{align}\int_{a}^{x} f\left( t\right) dt=&\int_{a}^{x} \left( 2t-2\right) dt \ \\\\ =&2\int_{a}^{x} \left( t-1\right) dt\\\\ \ =&2\left[\frac{1}{2}t^2-t\right]_{a}^{x}\\\\ \ =&x^2-2x-a^2+2a=x^2-2x-3 \end{align}$$ $$\begin{align}両辺を比較すると、a^2-2a=&3 \\\\\ これを解いて、&a=3\cdotsⅰ）\\\\ &a=-1\cdotsⅱ） \end{align}$$

$$\begin{align}f\left( x\right)=&g\left( x\right)+g\left( a\right)x=2x-2 より、\\\\ \ g\left( x\right)=&kx+l \ \\\\ &(k , lは実数、ただし、k \neq 0) であると推定される。\end{align}$$ $$\begin{align}\frac{d}{dt}\int f\left( t\right) dt=2t-2=&kt+l+g\left( a\right)t \ \\\\ =&\left( g\left( a\right)+k\right)t+l より \ \\\\ l=&-2\ \left( ka-2+k\right)\\\\ =&2\ k\left( a+1\right)\\\\=&4 \cdots☆\end{align}$$ $$\begin{align}ⅰ）a=3のとき、&\\\\☆は& \ k\left( 3+1\right)\\\\=&4 \ \\\\k=&1\ \ \\\\ゆえに、g\left( x\right)=&x-2\ \\\\a=&3 \end{align}$$
$$\begin{align}ⅱ）a=-1のとき、\\\\☆は& \ k\left( -1+1\right)\\\\=&4 \ k\cdot 0 \neq &4 より不適。 \end{align}$$
以上より、
$$\begin{align}g\left( x\right)=&x-2 \ \\\\ a=&3 \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}g\left( x\right)=&x-2 \ \\\\ a=&3 \end{align}$$

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