【ど忘れと迷いを払拭！】等比数列の和の公式を導く
Lukia
そこで、自分のために、公式を導いてみようと思います。
公式を導く
\( \ a_n=a\cdot r^{n-1} \ \) （\( \ n \ \)は自然数）
このとき、初項から第\( \ n \ \)項までの和を\( \ \mathrm{S}_n \ \)とすると、
\( \ \mathrm{S}_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} \ \) と表せる。
両辺を\( \ r \ \)倍して、辺々その差をとる。
\( \ \color{#FFFFFF}{r}\mathrm{S}_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} \ \)
\( \ r\mathrm{S}_n=\color{#ffffff}{a}\color{#ffffff}{+}ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n \ \)
\( \ \mathrm{S}_n-r\mathrm{S}_n=a-ar^n \ \)
\( \ \left( 1-r\right)\mathrm{S}_n=a-ar^n \ \)
ここで、\( \ 1-r \neq 0 \ \) であるから
\( \ \mathrm{S}_n= \ \)\(\displaystyle\frac{a-ar^n}{1-r}\)
（特に\( \ 1 \gt r \ \)のとき、使いやすい）
Lukia
（特に\( \ 1 \lt r \ \)のとき使いやすい）
公式は「日本語」で覚えておくと確実
今回、私が問題を解いていて、公式をど忘れしてしまったのは、末項の扱いがあいまいだったためです。
末項がいつもn項とは限らず、n-1項なんてこともあるので、
等比数列の和の公式がどうやって導かれたのかということを忘れているとか、
ただただ、そういうものだ。と丸覚えしていると、とっさのときに迷うことになります。
これは、旧センター試験や、共通テストなどでは命取り。
せっかく、日本語でも数学ができるのですから、
（母語で数学や理科ができるというのは、結構すごいことなんです）
公式を日本語訳して、覚えてしまいましょう。
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