高校数学の「平面ベクトル・点の存在範囲」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
読了時間: 約2分16秒
問題
[mathjax]
\( \ \mathrm{O}\left( 2 \ , \ 3 \right) \ , \ \mathrm{A}\left( 5 \ , \ 0 \right) \ , \ \mathrm{B}\left( 2 \ , \ 3\right) \ \)に対して、点\( \ \mathrm{P} \ \)が\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ , \ 0 \leq 2s+t \leq 2 \ , \ s \geq 0 \ , \ t \geq 0\ \)を満たしながら動くとき、
点\( \ \mathrm{P}\ \)の存在範囲を図示せよ。
解法
\( \ 0 \leq 2s+t \leq 2\ \)を操作して、右端の2を1にすること。
sまたはt（ときには両方のこともあります）を新たな文字に置き換えるということをやっていきましょう。
sまたはt（ときには両方のこともあります）を新たな文字に置き換えるということをやっていきましょう。
\( \ 0 \leq 2s+t \leq 2 \ \)の各辺を2で割ると
\( \ 0 \leq s+\frac{1}{2}t \leq 1 \ \)と表せる。
また
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\ \) は、
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2}t\cdot 2\overrightarrow{\mathrm{OB}}\ \) と表せる。
ここで、
\( \ \frac{1}{2}t=k \ \)とする。（\( \ k \geq 0 \ \)を満たす）
\( \ 2\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB’}}\ \)とすると、
与式は
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{OB’}} \ \)
\( \ 0 \leq s+k \leq 1 \ , \ s \geq 0 \ , \ k \geq 0 \ \)
sとkは、言い換えると、それぞれ0以上1以下の範囲で動くことができます。
これは、たとえば、s=0かつk=0でもいいし、（点O）
s=0かつk=1でもいいし、（点B’）
s=1かつk=0でもいいわけです。（点A）
そして、s+k=1を満たしてもいい。（線分AB’上）
動ける限界はこの線分AB’上までで、この線分の向こう側（点Oの反対側）には存在できません。
これは、たとえば、s=0かつk=0でもいいし、（点O）
s=0かつk=1でもいいし、（点B’）
s=1かつk=0でもいいわけです。（点A）
そして、s+k=1を満たしてもいい。（線分AB’上）
動ける限界はこの線分AB’上までで、この線分の向こう側（点Oの反対側）には存在できません。
こたえ
点\( \ \mathrm{P} \ \)は、\( \ \triangle \mathrm{OAB’} \ \)の周上とその内部に存在する。
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