高校数学の「平面ベクトル・点の存在範囲」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2020年5月26日ベクトル実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題

[mathjax]
\( \ \mathrm{O}\left( 2 \ , \ 3 \right) \ , \ \mathrm{A}\left( 5 \ , \ 0 \right) \ , \ \mathrm{B}\left( 2 \ , \ 3\right) \ \)に対して、点\( \ \mathrm{P} \ \)が\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ , \ 0 \leq 2s+t \leq 2 \ , \ s \geq 0 \ , \ t \geq 0\ \)を満たしながら動くとき、
点\( \ \mathrm{P}\ \)の存在範囲を図示せよ。

解法

Lukia_74
Lukia
\( \ 0 \leq 2s+t \leq 2\ \)を操作して、右端の2を1にすること。
sまたはt(ときには両方のこともあります)を新たな文字に置き換えるということをやっていきましょう。

 

\( \ 0 \leq 2s+t \leq 2 \ \)の各辺を2で割ると
\( \ 0 \leq s+\frac{1}{2}t \leq 1 \ \)と表せる。

また
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\ \) は、
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2}t\cdot  2\overrightarrow{\mathrm{OB}}\ \) と表せる。

ここで、
\( \ \frac{1}{2}t=k \ \)とする。(\( \ k \geq 0 \ \)を満たす)
\( \ 2\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB’}}\ \)とすると、

与式は
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{OB’}} \ \)
\( \ 0 \leq s+k \leq 1 \ , \ s \geq 0 \ , \ k \geq 0 \ \)

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sとkは、言い換えると、それぞれ0以上1以下の範囲で動くことができます。
これは、たとえば、s=0かつk=0でもいいし、(点O)
s=0かつk=1でもいいし、(点B’)
s=1かつk=0でもいいわけです。(点A)
そして、s+k=1を満たしてもいい。(線分AB’上)
動ける限界はこの線分AB’上までで、この線分の向こう側(点Oの反対側)には存在できません。
点\( \ \mathrm{P} \ \)は、\( \ \triangle \mathrm{OAB’} \ \)の周上とその内部に存在する。
点Pの存在範囲

こたえ

点\( \ \mathrm{P} \ \)は、\( \ \triangle \mathrm{OAB’} \ \)の周上とその内部に存在する。
点Pの存在範囲

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74