高校数学の「平面ベクトル・点の存在範囲」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2020年5月26日ベクトルYahoo!知恵袋,数学,数学検定,数学検定2級

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KEYWORDS

高校数学 , 平面ベクトル・点の存在範囲 , vectors, 数学検定2級

問題


\( \ \mathrm{O}\left( 2 \ , \ 3 \right) \ , \ \mathrm{A}\left( 5 \ , \ 0 \right) \ , \ \mathrm{B}\left( 2 \ , \ 3\right) \ \)に対して、点\( \ \mathrm{P} \ \)が\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ , \ 0 \leq 2s+t \leq 2 \ , \ s \geq 0 \ , \ t \geq 0\ \)を満たしながら動くとき、
点\( \ \mathrm{P}\ \)の存在範囲を図示せよ。

解法

Lukia_74
Lukia
\( \ 0 \leq 2s+t \leq 2\ \)を操作して、右端の2を1にすること。
sまたはt(ときには両方のこともあります)を新たな文字に置き換えるということをやっていきましょう。

\( \ 0 \leq 2s+t \leq 2 \ \)の各辺を2で割ると
\( \ 0 \leq s+\frac{1}{2}t \leq 1 \ \)と表せる。

また
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\ \) は、
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2}t\cdot  2\overrightarrow{\mathrm{OB}}\ \) と表せる。

ここで、
\( \ \frac{1}{2}t=k \ \)とする。(\( \ k \geq 0 \ \)を満たす)
\( \ 2\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB’}}\ \)とすると、

与式は
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{OB’}} \ \)
\( \ 0 \leq s+k \leq 1 \ , \ s \geq 0 \ , \ k \geq 0 \ \)

Lukia_74
Lukia
sとkは、言い換えると、それぞれ0以上1以下の範囲で動くことができます。
これは、たとえば、s=0かつk=0でもいいし、(点O)
s=0かつk=1でもいいし、(点B’)
s=1かつk=0でもいいわけです。(点A)
そして、s+k=1を満たしてもいい。(線分AB’上)
動ける限界はこの線分AB’上までで、この線分の向こう側(点Oの反対側)には存在できません。
点\( \ \mathrm{P} \ \)は、\( \ \triangle \mathrm{OAB’} \ \)の周上とその内部に存在する。
点Pの存在範囲

こたえ

点\( \ \mathrm{P} \ \)は、\( \ \triangle \mathrm{OAB’} \ \)の周上とその内部に存在する。
点Pの存在範囲

プロフィール

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Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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Posted by Lukia_74