高校数学の「等差数列と等比数列の積の和」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「等差数列と等比数列の積の和」に関する問題を解いてみました。
問題
2つの数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) と \( \ \lbrace b_n\rbrace \ \)について考える。\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) \( \ \left( n=1,2,3,\cdots\right) \ \)は一般項が\( \ a_n=4n-12 \ \)で与えられる数列であり、
数列 \( \ \lbrace b_n\rbrace \ \) \( \ \left( n=1,2,3,\cdots\right) \ \)は初項から第\( \ n \ \)項までの和\( \ \mathrm{S}_n \ \) が
\( \ \mathrm{S}_n=\displaystyle\frac{3^n}{2} \ \) \( \ \left( n=1,2,3,\cdots\right) \ \)で与えられる数列である。
1）数列 \( \ \lbrace b_n\rbrace \ \) の一般項 \( \ b_n \ \) を求めよ。
2) \( \ n \ \) を\( \ 3 \ \)以上の整数とするとき、\( \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\vert a_kb_k \vert} \ \)を求めよ。
数列 \( \ \lbrace b_n\rbrace \ \) \( \ \left( n=1,2,3,\cdots\right) \ \)は初項から第\( \ n \ \)項までの和\( \ \mathrm{S}_n \ \) が
\( \ \mathrm{S}_n=\displaystyle\frac{3^n}{2} \ \) \( \ \left( n=1,2,3,\cdots\right) \ \)で与えられる数列である。
1）数列 \( \ \lbrace b_n\rbrace \ \) の一般項 \( \ b_n \ \) を求めよ。
2) \( \ n \ \) を\( \ 3 \ \)以上の整数とするとき、\( \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\vert a_kb_k \vert} \ \)を求めよ。
解法
1)$$\begin{align}b_n=\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1}=&\frac{3^n}{2}-\frac{3^{n-1}}{2} \\\\ =&\frac{3\cdot 3^{n-1}}{2}-\frac{3^{n-1}}{2} \\\\ =&2\cdot \frac{3^{n-1}}{2}\\\\ =&3^{n-1} \end{align}$$
2)
$$\begin{align}\mathrm{T}_n=\sum_{k=1}^{n}{\vert a_kb_k \vert}=&-\sum_{k=1}^{3}{a_kb_k}+\sum_{k=4}^{n}{a_kb_k}\\\\ \rm{特に} \mathrm{U}_n=&\sum_{k=4}^{n}{a_kb_k}\quad \rm{とする。} \\\\ =&\mathrm{U}_n+20 \end{align}$$ ここで、
\( \ \mathrm{U}_n=a_4b_4+a_5b_5+a_6b_6+\cdots+a_{n-1}b_{n-1}+a_nb_n \ \) であり、 $$\begin{align}3\mathrm{U}_n=&a_43b_4+a_53b_5+a_63b_6+\cdots+a_{n-1}3b_{n-1}+a_n3b_n \\\\ =&a_4b_5+a_5b_6+a_6b_7+\cdots+a_{n-1}b_n+a_nb_{n+1} \end{align}$$ であるから、
$$\begin{align}\mathrm{U}_n-3\mathrm{U}_n=&a_4b_4+4\left( b_5+b_6+\cdots +b_n\right)-a_nb_{n+1} \\\\ -2\mathrm{U}_n=&4\lbrace \sum_{k=1}^{n}{b_k}-\sum_{k=1}^{4}{b_k}\rbrace +4\times 3^3-\left( 4n-12\right)3^n \\\\ =&2\left( \frac{3^n-1}{3-1}-\frac{3^4-1}{3-1}\right)+108-4\left( n-3\right)3^n\\\\ \mathrm{U}_n=&-3^n+27+2\left( n-3\right)3^n\\\\ =&\left( 2n-7\right)3^n+27 \end{align}$$ $$\begin{align}\mathrm{T}_n=&\mathrm{U}_n+20 \\\\ =&\left( 2n-7\right)3^n+47 \end{align}$$
こたえ
1) \( \ b_n=3^{n-1} \ \)2) \( \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\vert a_kb_k \vert}=\left( 2n-7\right)3^n+47 \ \)
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