高校数学の「方程式の解の個数」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年1月30日数と式Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 絶対値 , 解の個数 , 数学検定準2級

問題

problem

 

方程式\( \ \vert 2\vert x-1 \vert +x-2 \vert -k=0 \ \)が異なる4つの実数解をもつための\( \ k \ \)の値の範囲は,\( \ \color{#0004fc}{ア} \lt k \lt \color{#0004fc}{イ} \ \)である。

グラフが描けなきゃはじまらない。

Lukia_74

Lukia

方程式と書いてあるので、ついつい式変形でなんとかなりそうな気がしますが、絶対値がらみの問題の場合、グラフに描くなどの視覚化せずに解答を作成するのは難しいと思います。
Lukia_74

Lukia

絶対値の問題を見たら、\( \ xy \ \)平面上に描かれたグラフを\( \ x \ \)軸でパタンと折り返し、すべて第1象限と第2象限上に集約させる。というイメージを持っておいてください。

$$\begin{align}\vert 2\vert x-1 \vert +x-2 \vert -k=&0\quad より \\ \\ y=f\left( x\right)=&\vert 2\vert x-1 \vert +x-2 \vert\quad\cdots\cdots\quad ① と \\ y=&k\quad\cdots\cdots\quad ② に分けて考える. \end{align}$$

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Lukia

まずは、ざっくりと内側の絶対値をはずしていきます。

①において
$$\begin{align}&\left( 1 \leqq x\quad のとき\right) \\ f\left( x\right)=&\vert 2\left( x-1\right)+x-2 \vert\\ =&\vert 3x-4 \vert\quad \cdots\cdots\quad ③\\ \\ &\left( x \lt 1\quad のとき\right)\\ f\left( x\right)=&\vert 2\cdot -\left( x-1\right)+x-2 \vert\\ =&\vert -x \vert\quad\cdots\cdots\quad ④ \end{align}$$

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Lukia

①の式が③と④に分かれました。
さらにそれぞれ細かく考えていけば、グラフが描けます。

③において
$$\begin{align}f\left( x\right)=&3x-4\quad \left( \frac{4}{3}\leqq x\quad のとき\right)\quad \cdots\cdots\quad ⑤\\ \\ f\left( x\right)=&-\left( 3x-4\right)\quad \left( 1 \leqq x \lt \frac{4}{3}\quad のとき\right)\quad \cdots\cdots\quad ⑥ \end{align}$$
④において
$$\begin{align}f\left( x\right)=&-x\quad \left( x \leqq 0\quad のとき\right)\quad \cdots\cdots\quad ⑦ \\ \\ f\left( x\right)=&x\quad \left( 0 \lt x \lt 1\quad のとき\right)\quad \cdots\cdots\quad ⑧ \end{align}$$
⑤ , ⑥ , ⑦ , ⑧をもとに描いたグラフは以下の通り.

Lukia_74

Lukia

いかがですか。こんなグラフを数式だけで解くのは相当難しそうですよね。
逆に、出題者は、細かく場合分けをして、4本の直線が引けるかどうかを試しています。
つまり、「アナタ、絶対値のグラフ描けますか?」って聞いているってことですね。

定数kをひとりぼっちにした理由。

Lukia_74

Lukia

最初に式変形をして、左辺にあった定数\( \ k \ \)を右辺に移項し、
①と②の式に分けました。
なぜ、わざわざ\( \ k \ \)だけをひとりぼっちにしたのかというと、
\( \ x \ \)軸に平行な\( \ y=k \ \)とすることで、
①のグラフとの共有点の個数を判別しやすくするため。です。

 

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Lukia

式⑥と式⑧の交点を\( \ \mathrm{P}\left( \ 1 \ , \ 1 \ \right) \ \)とします。
さらに,直線\( \ y=k \ \)を\( \ k=2 \ , \ 1 \ , \ \frac{1}{2} \ , \ 0 \ , \ -1 \ \)を例に引いてみます。

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Lukia

青い直線と、ピンクの直線の交点が共有点となります。
グラフの上から,
\( \ k=2\quad のとき\quad 2個 \ \)
\( \ k=1\quad のとき\quad 3個 \ \)
\( \ k=\frac{1}{2}\quad のとき\quad 4個 \ \)
\( \ k=0\quad のとき\quad 2個 \ \)
\( \ k=-1\quad のとき\quad 0個 \ \) となっていますね。
Lukia_74

Lukia

つまり、\( \ y=k \ \)が\( \ y=0 \ \)と\( \ y=1 \ \)の間にあれば、共有点が4個存在するということになります。

$$\begin{align}y=k\quad は, \ &x \ 軸に平行な直線である. \\ グラフより,&y=f\left( x\right) \ と \ y=k \ が4つの異なる共有点をもつのは, \\ &0 \lt k \lt 1\quad のとき \end{align}$$
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dino

ディノ

ぐわぁあああ~~~~!出遅れたああああ~~~!
何ひとりで絶対値の問題解いてんだよ~~~!
Lukia_74

Lukia

うはっ、ディノさん。(汗)
(オニのいぬ間の洗濯だったのに・・・。)
いや、そろそろ定期試験とかありそうだしぃ、いつもいつも御登場いただくのも悪いかな。なんて。
dino

ディノ

水くさいこというなよ。
というか、オレは、寂しいぜ。
オマエにとって、オレは、その程度の存在だったのか・・・。(うっ、うっ・・・)
Lukia_74

Lukia

ええっ、ディノさん、そこまで思いつめなくても。。。
つ、次に絶対値の問題があったら、必ず呼びますから。ねっ、今日は機嫌直してくださいよ。
dino

ディノ

そうか。そんなオレの御機嫌を直したいなら、某ホテルの「いちごフェア」で手を打ってやる。
いくぞッ!
Lukia_74

Lukia

はいぃ・・・。

こたえ

$$0 \lt k \lt 1$$

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Posted by Lukia_74