高校数学の「関数と極限(収束の条件)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年4月2日関数と極限実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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問題
\( \ \displaystyle \lim_{x\to 1 } {\frac{ax^2+b}{x-1}}=2 \ \) が成り立つとき,
\( \ a \ , \ b \ \)の値を求めよ。
Lukia_74

Lukia

今回は、話し言葉にて翻訳してみようと思います。

まずは解答。

$$\begin{align}x\rightarrow1 のとき&分母\rightarrow 0となる。 \\\\ 与式が収束するためには,&a+b=0である必要がある. \\\\ b=&-aとする.\\\\ \displaystyle \lim_{x\to 1 } {\frac{ax^2-a}{x-1}}=&\displaystyle \lim_{x\to 1 } {a\left( x+1\right)} \\\\ 2a=&2 \\\\ a=&1\\\\ b=&-1\end{align}$$

拙訳

$$x\rightarrow1 のとき, \ 分母\rightarrow 0となる。$$

Lukia_74

Lukia

\( \ x\rightarrow1 \ \)というのは、
「\( \ x \ \)が\( \ 1 \ \)に限りなく近づく.」ということを意味しています。
ということは、\( \ x \ \)と\( \ 1 \ \)との差というか距離というか、間は限りなく\( \ \color{#0004fc}{0} \ \)に近づきますね。
これが、「\( \ 分母\rightarrow 0 \ \)となる。」の表すところです。
Lukia_74

Lukia

分母が\( \ 0 \ \)ではないけど、限りなく\( \ 0 \ \)に近い.
たとえば、\( \ 0.000000000000000000001 \ \)とかだったら分数全体としてはどうなるでしょうか。
Lukia_74

Lukia

\( \ x \sim 1 \ \)として考えると、分子は、\( \ a+b \ \)となります。

\( \ \frac{a+b}{0.000000000000000000001} \ \)って、分母がめちゃくちゃ小さいので、\( \ a \ \)や\( \ b \ \)が\( \ 1 \ \)や\( \ 2 \ \)ぐらいだったとしても、相当ばかでかい数になってしまいます。
分母は、いま例に挙げている数よりももっともっと小さい可能性がありますし、\( \ a \ \)や\( \ b \ \)が大きければ分数全体では、とうてい\( \ 2 \ \)では収まらないことになってしまいます。

つまり∞(無限大)に発散してしまう可能性があるので、式が成り立たなくなってしまうんですね。

$$\begin{align}与式が&収束するためには,a+b=0である必要がある. \\\\b=&-aとする. \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

そこで、\( \ 2 \ \)に収束(ぴったり\( \ 2 \ \)に落ち着かせる)ために、分子に条件を加えます。
また、分母が限りなく0に近づくというのは、あんまり具合がよくないので、
分子に同じものを作り、約分してしまおうというもくろみもあるのです。

$$\begin{align} \displaystyle \lim_{x\to 1 } {\frac{ax^2-a}{x-1}}=\displaystyle \lim_{x\to 1 } {\frac{a\left( x+1\right)\left( x-1\right)}{x-1}}=&\displaystyle \lim_{x\to 1 } {a\left( x+1\right)} \\\\ \\\\ 2a=&2 \\\\ a=&1\\\\ b=&-1\end{align}$$

こたえ

$$a=1\quad ,\quad b=-1$$


 

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2019年4月2日関数と極限実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

Posted by Lukia_74