数学検定準1級の「y軸回転」問題を解いてみる。

2018年7月18日数学検定準1級, 積分とその応用数学, 数学検定, 数検準1級

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2018年7月22日実施の
第322回「実用数学技能検定(以下数検)」の受検にむけ、

問題

$$\begin{align} xy 平面上の曲線 y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \left( 0 \leqq x \leqq 1\right)と y 軸、\\ 直線y=\frac{1}{\sqrt{2}} で囲まれた図形を、\\ y 軸の周りに1回転させてできる立体の体積\rm{V} を求めよ。\end{align}$$

目標

$$\Large V=\pi\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} x^2 dy$$

逆関数を求める。

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Lukia

\(\Large y=f\left( x\right)\)とし、その逆関数を\(\Large g\left( x\right)\)とします。
\(\Large f\left( g\left( x\right)\right)=x\) を利用して逆関数を求めます。

$$\Large \begin{align}f\left( y\right)&=x より、 \\ \frac{y}{\sqrt{1+x^2}}&=x \\両辺を2乗して、\\ y^2&=x^2\left( 1+y^2\right) \\ -x^2&=\left( x^2-1\right)y^2 \\y^2&=\frac{-x^2}{x^2-1}
より、\\ x^2&=\frac{-y^2}{y^2-1} \end{align}$$

式を計算していく。

$$\Large \begin{align} \frac{V}{\pi}&=\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{-y^2}{y^2-1} dy \\ \color{red}{-}\frac{V}{\pi}&=\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{y^2}{y^2-1} dy \\ &=\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\color{red}{\left( y^2-1\right)+1}}{y^2-1} dy \\ &=\left[y\right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{y^2-1} dy \end{align}$$

なんなら、覚えちゃえ!

$$\Large \int_\beta^\alpha \frac{1}{x^2-1} dx=\frac{1}{2}\left[\log \frac{\vert x-1 \vert}{x+1}\right]_\beta^\alpha$$

計算にもどります。


$$\Large \begin{align} \frac{-V}{\pi}&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\left[\log \frac{\vert y-1 \vert}{y+1}\right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{2}\log \left( \sqrt{2}-1\right)^2 \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} +\log \left( \sqrt{2}-1\right) \\ V&=-\pi \log \left( \sqrt{2}-1\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}\pi \end{align}$$

ポイント


$$\Large \begin{align}&\int の周りはシンプルな状態を保つ。\\ & (不急の文字や数字は移項して、計算に集中する)\end{align}$$
$$\Large 分数の分子を1や \left(分母\right)’ の形にして対数(log)にもちこむ。$$

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