数学検定準1級の「y軸回転」問題を解いてみる。
直線\( \ y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \ \) で囲まれた図形を、
\( \ y \ \) 軸の周りに1回転させてできる立体の体積\( \ \rm{V} \ \)を求めよ。
目標
$$ V=\pi\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} x^2 dy$$
逆関数を求める。
Lukia
\( f\left( g\left( x\right)\right)=x\) を利用して逆関数を求めます。
$$ \begin{align}f\left( y\right)&=x より、 \\\\ \displaystyle\frac{y}{\sqrt{1+x^2}}&=x \\\\両辺を2乗して、\\\\\ y^2&=x^2\left( 1+y^2\right) \\\\\ -x^2&=\left( x^2-1\right)y^2 \\\\y^2&=\displaystyle\frac{-x^2}{x^2-1}
より、\\\\ x^2&=\displaystyle\frac{-y^2}{y^2-1} \end{align}$$
式を計算していく。
$$ \begin{align} \displaystyle\frac{V}{\pi}&=\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} \displaystyle\frac{-y^2}{y^2-1} dy \\\\ \color{red}{-}\displaystyle\frac{V}{\pi}&=\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} \displaystyle\frac{y^2}{y^2-1} dy \\\\ &=\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} \displaystyle\frac{\color{red}{\left( y^2-1\right)+1}}{y^2-1} dy \\\\ &=\left[y\right]_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}+\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} \displaystyle\frac{1}{y^2-1} dy \end{align}$$
なんなら、覚えちゃえ！
$$ \displaystyle\int_\beta^\alpha \displaystyle\frac{1}{x^2-1} dx=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\log \displaystyle\frac{\vert x-1 \vert}{x+1}\right]_\beta^\alpha$$
計算にもどります。
$$ \begin{align} \displaystyle\frac{-V}{\pi}&=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{2}\left[\log \displaystyle\frac{\vert y-1 \vert}{y+1}\right]_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}\\\\ &=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} +\displaystyle\frac{1}{2}\log \left( \sqrt{2}-1\right)^2 \\\\ &=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} +\log \left( \sqrt{2}-1\right) \\\\ V&=-\pi \log \left( \sqrt{2}-1\right)-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\pi \end{align}$$
ポイント
（不急の文字や数字は移項して、計算に集中する）
分数の分子を\( \ 1 \ \)や \( \ \left(分母\right)’ \ \) の形にして対数 \( \ \log \ \) にもちこむ。
プロフィール
