数学検定準1級の「y軸回転」問題を解いてみる。

2018年7月18日数学検定準1級,積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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問題
\( \ xy \ \) 平面上の曲線 \( \ y=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \ \) \( \ \left( 0 \leqq x \leqq 1\right) \ \)と \( \ y \ \) 軸、
直線\( \ y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \ \) で囲まれた図形を、
\( \ y \ \) 軸の周りに1回転させてできる立体の体積\( \ \rm{V} \ \)を求めよ。

目標

$$ V=\pi\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} x^2 dy$$

逆関数を求める。

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Lukia

\( y=f\left( x\right)\)とし、その逆関数を\( g\left( x\right)\)とします。
\( f\left( g\left( x\right)\right)=x\) を利用して逆関数を求めます。

$$ \begin{align}f\left( y\right)&=x より、 \\\\ \displaystyle\frac{y}{\sqrt{1+x^2}}&=x \\\\両辺を2乗して、\\\\\ y^2&=x^2\left( 1+y^2\right) \\\\\ -x^2&=\left( x^2-1\right)y^2 \\\\y^2&=\displaystyle\frac{-x^2}{x^2-1}
より、\\\\ x^2&=\displaystyle\frac{-y^2}{y^2-1} \end{align}$$

式を計算していく。

$$ \begin{align} \displaystyle\frac{V}{\pi}&=\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} \displaystyle\frac{-y^2}{y^2-1} dy \\\\ \color{red}{-}\displaystyle\frac{V}{\pi}&=\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} \displaystyle\frac{y^2}{y^2-1} dy \\\\ &=\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} \displaystyle\frac{\color{red}{\left( y^2-1\right)+1}}{y^2-1} dy \\\\ &=\left[y\right]_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}+\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}} \displaystyle\frac{1}{y^2-1} dy \end{align}$$

なんなら、覚えちゃえ!

$$ \displaystyle\int_\beta^\alpha \displaystyle\frac{1}{x^2-1} dx=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\log \displaystyle\frac{\vert x-1 \vert}{x+1}\right]_\beta^\alpha$$

計算にもどります。

$$ \begin{align} \displaystyle\frac{-V}{\pi}&=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{2}\left[\log \displaystyle\frac{\vert y-1 \vert}{y+1}\right]_0^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}\\\\ &=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} +\displaystyle\frac{1}{2}\log \left( \sqrt{2}-1\right)^2 \\\\ &=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} +\log \left( \sqrt{2}-1\right) \\\\ V&=-\pi \log \left( \sqrt{2}-1\right)-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\pi \end{align}$$

ポイント

\(\Large \int\) の周りはシンプルな状態を保つ。
(不急の文字や数字は移項して、計算に集中する)
分数の分子を\( \ 1 \ \)や \( \ \left(分母\right)’ \ \) の形にして対数 \( \ \log \ \) にもちこむ。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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