中学数学の食塩水に「食塩」を混ぜる問題(その2)

2018年7月3日中学数学Yahoo!知恵袋, 「ちょっと来い」シリーズ, 数学検定, 数検3級

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Lukia

前回始まった「食塩水に『塩』を混ぜ合わせる」問題ですが、
さっそく今回で終了です。
とはいえ、今回は、不等式が含まれていますので、少し難しいかもしれません。
がんばってみてくださいね。
それでは、以下に問題を示します。
スクロールの手を止めて、解いてみてください。

問題



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Lukia

なお、今回はふたつの式を立てなくてはならないので、
まずは、「15%以上」のほうの式を立て、
そのあとで、「20%以下」のほうの式を立てていきます。

15%以上

表に書き込む。

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もも

15%以上、20%以下って、ちょっと難しそうですね。
ま、でもまずは表を描いてみます。
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もも

横長の線を3本と、それを4等分するように縦の線を3本引きます。
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Lukia

ももちゃんは、以下のような表を描いています。

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もも

問題文によると、
①は10、
②が340ですね。
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もも

「食塩を加えて」とあるから、
③は100でよさそう。
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もも

問題文の一番下に「加える食塩の量」とあるから、
④は \(\Large x\) としてよさそうですね。
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Lukia

確認しておくと、ももちゃんがおいた③の100は、
食塩には、食塩が100%含まれている。ということからきています。
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もも

⑤は15で・・・
⑥は、「横はたし算」ルールによって、
②+④=⑥とわかるから、
\(\Large \left( 340+x\right)\) とおけます。

%を百分率に直しておく。

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もも

百分率に直すのは簡単。
左から、\(\Large \frac{10}{100}\) ・ \(\Large \frac{100}{100}\) ・ \(\Large \frac{15}{100}\) です。

縦はかけ算・横はたし算

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Lukia

では、「縦はかけ算」をして、一番下の段のマスをうめていきましょう。
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もも

はい。
まず、食塩水の列は、
\(\Large \frac{10}{100}\times 340\) となります。
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もも

次に、食塩の列は、
\(\Large \frac{100}{100}\times x\) となります。
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もも

できあがる食塩水の列は、
\(\Large \frac{15}{100}\times \left( 340+x\right)\) となります。

一番下の段の「たし算」をする。

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Lukia

手慣れたもんですね。
それでは、いよいよ「横はたし算」をして、式を立ててみましょう。
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もも

はい。
式は、
\(\Large \frac{10}{100}\times 340+\frac{100}{100}\times x=\frac{15}{100}\times \left( 340+x\right)\) となります。
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Lukia

はい。方程式だったらまったく問題ない式なのですが、
今回は、15%以上ということなので、「不等式」にしなければなりませんね。
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もも

あっ、そうですね。
このままだったら、濃度15%の食塩水ができてしまいますね。

不等式を考えてみる。

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Lukia

ちなみに、表の一番下の段は、「食塩の重さ」となっていますね。
ここを見ながら考えてみましょう。
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Lukia

濃度10%の食塩水には、いま、34gの食塩が含まれています。
これは、もう、どうがんばっても増えません。
できあがる食塩水を濃く(全体に対して、食塩の重さが多く)なるためには、
加える食塩の重さでしか、調整できないんですね。
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もも

はい。
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Lukia

ということは、
左辺の「10%食塩水に食塩を加えたときの食塩の重さ」が、
右辺の「15%食塩水に含まれる食塩の重さ」と同じか、それよりも重くなってほしい。
と言いたいのですが、数学の記号でそれを表せるもの、知りませんか?
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もも

\(\Large \geqq\) とか、\(\Large \leqq\) かな?
ほかにも、\(\Large \gt\) とか、\(\Large \lt\) もありますね。
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Lukia

そうですね。
今回は、15%以上とありますから、きっかり15%も含まれています。
ゆえに、\(\Large \geqq\) か、\(\Large \leqq\) を使いましょう。
ちなみに、広がっている方が、左辺と右辺のどっちに向けばいいですか。
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もも

10%食塩水と食塩を混ぜたほうに重くなってほしいんだから・・・
左辺ですね。
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Lukia

そうです。ですから、あらためて式を立てると、
\(\Large \frac{10}{100}\times 340+\frac{100}{100}\times x\geqq\frac{15}{100}\times \left( 340+x\right)\) となりますね。
計算自体は、方程式のときと同じようにできますよ。
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もも

ということは、
まず分母の100をはらって、
\(\Large 10\times 340+100\times x\geqq 15\times \left( 340+x\right)\) になり、
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もも

左辺を \(\Large x\) 、
右辺を340でまとめて、
\(\Large \left( 100-15\right)x\geqq \left( 15-10\right)\times 340\) にします。
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もも

両辺を5でわって、
\(\Large 17x\geqq 340\) とします。
計算して、
\(\Large x\geqq 20\) が導かれますね。
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Lukia

または、両辺を2倍してから計算する方法もあります。
\(\Large 2\left( 100-15\right)x\geqq 2\left( 15-10\right)\times 340\) とし、
\(\Large 170x \geqq 10\times 340\) の両辺を170で割ります。
そして、
\(\Large x \geqq 20\) を導きます。
このへんの計算のくふうは、その人の好みですね。
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Lukia

さて、答えが \(\Large x \geqq 20\) となりましたから、
加える食塩は、20g以上ということになりますね。

20%以下

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Lukia

こちらも操作は同じなので、式は、ふきだしなしで書いていきますね。

$$\Large \frac{10}{100}\times 340+\frac{100}{100}\times x \leqq \frac{20}{100}\times \left( 340+x\right)$$
両辺の分母の100をはらって、
$$\Large 10\times 340+100\times x \leqq 20\times \left( 340+x\right)$$

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Lukia

左辺を \(\Large x\) 、右辺を340でまとめて、

$$\Large \left( 100-20\right)x \leqq \left( 20-10\right)\times 340$$
$$\Large 80x \leqq 3400$$
$$\Large x \leqq 42.5$$
ゆえに求める食塩の量の範囲は、
$$\Large 20 \leqq x \leqq 42.5$$

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Lukia

つまり、
20g以上、42.5g以下 となります。

おわりに

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Lukia

いかがでしたか。不等式を考えるのが少し難しかったですね。
これからも、不等式がからんだ問題がいくつか出てくると思いますので、
その都度慣れていくようにしましょうね。
それでは、再度問題とこたえを載せて、おわりにしましょう。

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