高校数学の「隣接3項間の漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

特性方程式\( \ x^2-x-6=0 \ \)を解く。
\( \ \left( x-3\right)\left( x+2\right)=0 \ \) より
特性解は\( \ x=-2 \ \) , \( \ x=3 \ \) である。

与式は

\( \ \left( a_{n+2}+2a_{n+1}\right)=3\left( a_{n+1}+2a_n\right)+14\cdot 5^n\quad \cdots \ ① \ \)
\( \ \left( a_{n+2}-3a_{n+1}\right)=-2\left( a_{n+1}-3a_n\right)+14\cdot 5^n\quad \cdots \ ② \ \)　と表せる。

①について
\( \ b_n=a_{n+1}+2a_n \ \) とする。
（ \( \ n= \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ \) )
\( \ b_0=a_1+2a_0=10 \ \)

\( \ b_{b+1}=3b_n+14\cdot 5^n \ \)

両辺を \( \ 5^{n+1} \ \) で割る
\(\Large \frac{b_{n+1}}{5^{n+1}}=\frac{3b_n}{5\cdot 5^n}+\frac{14\cdot 5^n}{5\cdot 5^n}\)

ここで、\( \ d_n= \ \)\(\Large \frac{b_n}{5^n}\) とおく。
特に\( \ d_0=b_0=10 \ \)

\( \ d_{n+1}= \ \)\(\Large \frac{3}{5}\)\( \ d_n+ \ \)\(\Large \frac{14}{5}\)
\( \ \left( d_{n+1}-\alpha\right)= \ \)\(\Large \frac{3}{5}\)\( \ \left( d_n-\alpha\right) \ \)
\( \ – \ \)\(\Large \frac{3}{5}\)\( \ \alpha+\alpha= \ \)\(\Large \frac{14}{5}\) より
\( \ \alpha=7 \ \)であるから
\( \ \left( d_{n+1}-7\right)= \ \)\(\Large \frac{3}{5}\)\( \ \left( d_n-7\right) \ \)

さらに \( \ e_n=d_n-7 \ \) とおく。
特に \( \ e_0=d_0-7=3 \ \)
\( \ e_n=3\cdot \ \)\(\Large \left( \frac{3}{5}\right)^{n-1}\)
\( \ d_n=3\cdot \ \)\(\Large \left( \frac{3}{5}\right)^{n-1}\)\( \ +7 \ \)
\( \ b_n=3^n\cdot \ \)\(\Large \left( \frac{1}{5}\right)^{n-1}\)\( \ \times 5^n+7\cdot 5^n \ \)
\( \ \color{#ffffff}{b_n}=3^n\cdot 5^{n-n+1}+7\cdot 5^n\ \)
\( \ \color{#ffffff}{b_n}=5\cdot 3^n+7\cdot 5^n\quad \cdots \ ①’\ \)

②について
\( \ c_n=a_{n+1}-3a_n \ \) とする。
（ \( \ n= \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ \) )
\( \ c_0=a_1-3a_0=-5 \ \)

\( \ c_{b+1}=-2c_n+14\cdot 5^n \ \)

両辺を \( \ 5^{n+1} \ \) で割る
\(\Large \frac{c_{n+1}}{5^{n+1}}=\frac{-2b_n}{5\cdot 5^n}+\frac{14\cdot 5^n}{5\cdot 5^n}\)

ここで、\( \ f_n= \ \)\(\Large \frac{c_n}{5^n}\) とおく。
特に\( \ f_0=c_0=-5 \ \)

\( \ f_{n+1}= \ \)\(\Large -\frac{2}{5}\)\( \ f_n+ \ \)\(\Large \frac{14}{5}\)
\( \ \left( f_{n+1}-\beta\right)= \ \)\(\Large -\frac{2}{5}\)\( \ \left( f_n-\beta\right) \ \)
\(\Large \frac{2}{5}\)\( \ \beta+\beta= \ \)\(\Large \frac{14}{5}\) より
\( \ \beta=2 \ \)であるから
\( \ \left( f_{n+1}-2\right)= \ \)\(\Large -\frac{2}{5}\)\( \ \left( f_n-2\right) \ \)

さらに \( \ g_n=f_n-2 \ \) とおく。
特に \( \ g_0=f_0-2=-7 \ \)
\( \ g_n=-7\cdot \ \)\(\Large \left( -\frac{2}{5}\right)^{n-1}\)
\( \ f_n=-7\cdot \ \)\(\Large \left( -\frac{2}{5}\right)^{n-1}\)\( \ +2 \ \)
\( \ c_n=-7\cdot \ \)\(\Large \left( -\frac{2}{5}\right)^{n-1}\)\( \ \times 5^n+2\cdot 5^n \ \)
\( \ \color{#ffffff}{b_n}=-7\cdot \left( -2\right)^{n-1}\cdot 5^{n-n+1}+2\cdot 5^n\ \)
\( \ \color{#ffffff}{b_n}=-35\cdot \left( -2\right)^{n-1}+2\cdot 5^n\quad \cdots \ ②’\ \)

\( \ b_n-c_n \ \) をする

\( \ b_n=a_{n+1}+2a_n=5\cdot 3^n+7\cdot 5^n \ \)
\( \ c_n=a_{n+1}-3a_n=-35\cdot \left( -2\right)^{n-1}+2\cdot 5^n \ \)

---

\( \ b_n-c_n=5a_n=35\cdot \left( -2\right)^{n-1}+5\cdot 3^n+5\cdot 5^n \ \)

\( \ a_n=7\cdot \left( -2\right)^{n-1}+3^n+5^n \ \)

\( \ a_n=7\cdot \left( -2\right)^{n-1}+3^n+5^n \ \)