高校数学の「三角形と余弦定理」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2021年6月10日図形の性質実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

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yc20210610のアイキャッチ画像三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)において、
辺\( \ \mathrm{AB} \ \)の長さが\( \ 10 \ \),
辺\( \ \mathrm{BC} \ \)の長さが\( \ 14 \ \),
辺\( \ \mathrm{CA} \ \)の長さが\( \ 6 \ \)で、
辺\( \ \mathrm{BC} \ \)の中点を\( \ \mathrm{M} \ \)とする。
このとき、辺\( \ \mathrm{AM} \ \)の長さを求めよ。

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Lukia

余弦定理を用いて解いていくのですが、
ここでポイントになるのが、三角形におけるひとつの内角と隣り合う外角との関係です。

\( \ \triangle \mathrm{ABM} \ \)において、\( \ \angle \mathrm{AMB}=\theta \ \)とする。
余弦定理より
\( \ \cos \theta=\frac{\mathrm{AM}^2+7^2-10^2}{2\cdot 7\cdot \mathrm{AM}} \ \)

\( \ \triangle \mathrm{AMC} \ \)において、余弦定理より

\( \ \cos \angle \mathrm{AMC}=\frac{\mathrm{AM}^2+7^2-6^2}{2\cdot \mathrm{AM}\cdot 7} \ \)

ここで、\( \ \angle \mathrm{AMB}+\angle \mathrm{AMC}=180^{\circ} \ \)より
\( \ \angle \mathrm{AMC}=180^{\circ}-\theta \ \)であるから、
\( \ \cos \angle \mathrm{AMC}=-\cos \theta \ \)である。

\( \ \cos \theta=\frac{\mathrm{AM}^2+7^2-10^2}{2\cdot 7\cdot \mathrm{AM}}=-\frac{\mathrm{AM}^2+7^2-6^2}{2\cdot \mathrm{AM}\cdot 7} \ \)

\( \ 2\mathrm{AM}^2+2\cdot 49-100-36=0 \ \)
\( \ \mathrm{AM}^2=19 \ \)
\( \ \mathrm{AM}= \pm \sqrt{19} \ \)
\( \ \mathrm{AM} \gt 0 \ \)より
\( \ \mathrm{AM}=\sqrt{19} \ \)

レモンのライン

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 上記のやり方をまとめると、以下のような公式のようなものが導けます。
しかし、2021年以降、これが通用する場面は少ないかも。
記述形式の問題が増えるので、公式を暗記するだけの勉強方法では太刀打ちできません。
数検の一次である計算技能検定だったら、答えを書けばいいだけなので、その場合なら役立つかもしれませんが、まぁ、暗記するよりかは、計算の速さや確実さを増すような訓練をするほうがよっぽど実践的でしょうね。

辺AMを求めるショートカット

\( \ \mathrm{AM}^2=\frac{2c^2+2b^2-a^2}{4} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74