高校数学の「対数の連立方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
読了時間: 約1分7秒
Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「対数の連立方程式」に関する問題を解いてみました。
[mathjax]
問題
連立方程式
\( \ \log_{2}x-\log_{2}y=1 \ \)
\( \ x\log_{2}x-y\log_{2}y=0 \ \) を解け。
\( \ \log_{2}x-\log_{2}y=1 \ \)
\( \ x\log_{2}x-y\log_{2}y=0 \ \) を解け。
解法
\( \ \log_{2}x-\log_{2}y=1 \ \)
\( \ \log_{2}\frac{x}{y}=\log_{2}2 \ \)
\(\Large \frac{x}{y}\)\( \ =2 \ \)
真数条件より\( \ y \gt 0 \ \)だから
\( \ x=2y \ \)
\( \ x\log_{2}x-y\log_{2}y=0 \ \) に代入して
\( \ 2y\log_{2}2y-y\log_{2}y=0 \ \)
\( \ 2y\left( 1+\log_{2}y\right)-y\log_{2}y=0 \ \)
\( \ 2y+2y\log_{2}y-y\log_{2}y=0 \ \)
\( \ 2y=-y\log_{2}y \ \)
真数条件より\( \ y \gt 0 \ \)だから
\( \ \log_{2}y=-2 \ \)
\( \ \log_{2}y=\log_{2}2^{-2} \ \)
\( \ y= \ \)\(\Large \frac{1}{4}\)
\( \ x=2y= \ \)\(\Large \frac{1}{2}\)
\( \ \log_{2}\frac{x}{y}=\log_{2}2 \ \)
\(\Large \frac{x}{y}\)\( \ =2 \ \)
真数条件より\( \ y \gt 0 \ \)だから
\( \ x=2y \ \)
\( \ x\log_{2}x-y\log_{2}y=0 \ \) に代入して
\( \ 2y\log_{2}2y-y\log_{2}y=0 \ \)
\( \ 2y\left( 1+\log_{2}y\right)-y\log_{2}y=0 \ \)
\( \ 2y+2y\log_{2}y-y\log_{2}y=0 \ \)
\( \ 2y=-y\log_{2}y \ \)
真数条件より\( \ y \gt 0 \ \)だから
\( \ \log_{2}y=-2 \ \)
\( \ \log_{2}y=\log_{2}2^{-2} \ \)
\( \ y= \ \)\(\Large \frac{1}{4}\)
\( \ x=2y= \ \)\(\Large \frac{1}{2}\)
こたえ
\( \ x= \ \)\(\Large \frac{1}{2}\) , \( \ y= \ \)\(\Large \frac{1}{4}\)
共有:
プロフィール
Author Profile
