高校数学の「対数の連立方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

指数と対数

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「対数の連立方程式」に関する問題を解いてみました。


問題

連立方程式
\( \ \log_{2}x-\log_{2}y=1 \ \)
\( \ x\log_{2}x-y\log_{2}y=0 \ \) を解け。

解法

\( \ \log_{2}x-\log_{2}y=1 \ \)
\( \ \log_{2}\displaystyle\frac{x}{y}=\log_{2}2 \ \)
\(\displaystyle\frac{x}{y}\)\( \ =2 \ \)

真数条件より\( \ y \gt 0 \ \)だから
\( \ x=2y \ \)

\( \ x\log_{2}x-y\log_{2}y=0 \ \) に代入して
\( \ 2y\log_{2}2y-y\log_{2}y=0 \ \)
\( \ 2y\left( 1+\log_{2}y\right)-y\log_{2}y=0 \ \)
\( \ 2y+2y\log_{2}y-y\log_{2}y=0 \ \)
\( \ 2y=-y\log_{2}y \ \)

真数条件より\( \ y \gt 0 \ \)だから
\( \ \log_{2}y=-2 \ \)
\( \ \log_{2}y=\log_{2}2^{-2} \ \)
\( \ y= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{4}\)

\( \ x=2y= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

こたえ

\( \ x= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) , \( \ y= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{4}\)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74