高校数学の「指数対数がらみの連立方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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問題
以下の連立方程式を解け。
\( \ 2^x=3^y \ \)
\( \ x^2=y^3 \ \)
\( \ \left( x \neq 0 \ , \ y \neq 0\right) \ \)
\( \ 2^x=3^y \ \)
\( \ x^2=y^3 \ \)
\( \ \left( x \neq 0 \ , \ y \neq 0\right) \ \)
解法
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\( \ 2^x=3^y \quad \cdots\quad ①\ \)
\( \ x^2=y^3 \quad \cdots\quad ②\ \)
①の式について両辺を\( \ 2\ \)を底とする対数をとる.
\( \ \begin{align}\log_{2}2^x=&\log_{2}3^y \quad \cdots\quad ① \\\\ x=&y\log_{2}3\quad \cdots\quad ①’\\\\ \\\\ ①’ \ を②に代入する.\\\\ y^2\left( \log_{2}3\right)^2=&y^3\\\\ y \neq 0&より両辺をy^2でわる.\\\\ y=&\left( \log_{2}3\right)^2\\\\ x=&\left( \log_{2}3\right)^3\ \end{align} \ \)
こたえ
\( \ \begin{align}x=&\left( \log_{2}3\right)^3\\\\y=&\left( \log_{2}3\right)^2 \ \end{align} \ \)
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