中学数学の2種類の濃度の食塩水を混ぜる問題(その10)

2018年7月7日中学数学Yahoo!知恵袋, 「ちょっと来い」シリーズ, 数学検定, 数検3級

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Lukia

2種類の濃度の食塩水を混ぜ合わせる問題でも、不等式のバージョンを見つけましたので、
載せてみます。
力試しをしてみたい方は、以下に問題を載せていますから、
スクロールの手を止めて、解いてみてください。

問題

表に書き込む。

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もも

うわ~、「2種類の濃度の食塩水」の問題、なつかしいわ~。
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Lukia

食塩が2回、水が3回でしたから、
5回前ですけど。
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もも

いいんですよっ。
さて、さっそく表を描いちゃおう。
まず、横長の線を3本と、それを4等分するように、
縦の線を3本引きます。
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Lukia

ももちゃんは、以下のような表を描いています。

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もも

次に、表に文字や数字を書き込んでいきます。
①が13、
③が5、
⑤が10です。
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もも

そして、できあがる食塩水の重さが400gなので、
⑥が400となります。
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もも

問題文を読むと、5%の食塩水の重さを問うようですから、
④に \(\Large x\) を入れます。
ということは、全体の重さの段は、「横はたし算」ができるから、
②+④=⑥ が成り立つので、
②は、\(\Large \left( 400-x\right)\) とあらわせます。

%を百分率に直しておく。

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Lukia

表の①から⑥が書き込めたので、
%を百分率に直していきます。
左から、
\(\Large \frac{13}{100}\) ・ \(\Large \frac{5}{100}\) ・ \(\Large \frac{10}{100}\) となりますね。
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もも

あっ、お株を奪われたッ!

縦はかけ算・横はたし算

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Lukia

たまにはい~ぢゃないですかぁ。(笑)
では、「縦はかけ算」をお願いします。
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もも

(軽く流されたな・・・)
それでは、縦の列ごとに「縦はかけ算」をして、
表の一番下の段のマスをうめていきます。
まず、13%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)\) となります。
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Lukia

はいはい♪
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もも

むむっ・・・
次に、5%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{5}{100}\times x\) となります。
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Lukia

ヘイヘイ♪
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もも

(完全に遊んでるな・・・)
そして、10%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{10}{100}\times 400\) となります。
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Lukia

ホイホイ♪

一番下の段の「たし算」をする。

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もも

Lukia先生のことはほっといて、先に進みます。
表の一番下の段は、「横はたし算」をして、式を立てていきます。
ひとまず、
\(\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)+\frac{5}{100}\times x=\frac{10}{100}\times 400\) となります。
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Lukia

ちなみに、この式は、
2種類の濃度の食塩水を混ぜ合わせてできる食塩水に含まれる『食塩の重さ』を表しています。
いま、濃度が10%以上になってほしい。ということは、
左辺と右辺の大小関係はどうなりますか?
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もも

いきなりマジメになって復活してこないでくださいッ!
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もも

方程式のままだったら、10%きっかりのときの食塩の重さになりますが、
今回はそれよりも多く含まれてほしい。ということなので、
左辺 \(\Large \geqq \) 右辺が成り立つと思います。
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Lukia

そうですね。ですから、不等式の記号を使って、
\(\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)+\frac{5}{100}\times x \geqq \frac{10}{100}\times 400\) とすることができますね。
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もも

じゃ、計算はももがやってみます。
ふきだしははずして書きますね。

$$\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)+\frac{5}{100}\times x \geqq \frac{10}{100}\times 400$$
両辺の分母の100をはらって、
$$\Large 13\times \left( 400-x\right)+5x\geqq 10\times 400$$
$$\Large \left( 13-10\right)\times 400-13x+5x \geqq 0$$

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もも

\(\Large -8x\) を右辺に移項して

$$\Large 3\times 400 \geqq 8x$$
両辺を8でわって、
$$\Large 3\times 50 \geqq x$$
$$\Large 150 \geqq x  (または、 x \leqq 150 )$$

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もも

つまり、5%の食塩水を150g以下にすればよいことになりますね。
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Lukia

よくできました♪

おわりに

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Lukia

いかがでしたか。
不等式の記号の向きに気をつければ、それ以外で難しいところはなかったと思います。
それでは、再度問題とこたえを載せておわりにしましょう。



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