中学数学の2種類の濃度の食塩水を混ぜる問題(その10)
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[mathjax]
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Lukia
2種類の濃度の食塩水を混ぜ合わせる問題でも、不等式のバージョンを見つけましたので、
載せてみます。
力試しをしてみたい方は、以下に問題を載せていますから、
スクロールの手を止めて、解いてみてください。
載せてみます。
力試しをしてみたい方は、以下に問題を載せていますから、
スクロールの手を止めて、解いてみてください。
問題
濃度13%の食塩水と、濃度5%の食塩水を混ぜ合わせて、
濃度10%以上の食塩水を400g作りたい。
濃度5%の食塩水を何g以下にすればよいか。
濃度10%以上の食塩水を400g作りたい。
濃度5%の食塩水を何g以下にすればよいか。
表に書き込む。
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もも
うわ~、「2種類の濃度の食塩水」の問題、なつかしいわ~。
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Lukia
食塩が2回、水が3回でしたから、
5回前ですけど。
5回前ですけど。
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もも
いいんですよっ。
さて、さっそく表を描いちゃおう。
まず、横長の線を3本と、それを4等分するように、
縦の線を3本引きます。
さて、さっそく表を描いちゃおう。
まず、横長の線を3本と、それを4等分するように、
縦の線を3本引きます。
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Lukia
ももちゃんは、以下のような表を描いています。
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もも
次に、表に文字や数字を書き込んでいきます。
①が13、
③が5、
⑤が10です。
①が13、
③が5、
⑤が10です。
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もも
そして、できあがる食塩水の重さが400gなので、
⑥が400となります。
⑥が400となります。
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もも
問題文を読むと、5%の食塩水の重さを問うようですから、
④に \(\Large x\) を入れます。
ということは、全体の重さの段は、「横はたし算」ができるから、
②+④=⑥ が成り立つので、
②は、\(\Large \left( 400-x\right)\) とあらわせます。
④に \(\Large x\) を入れます。
ということは、全体の重さの段は、「横はたし算」ができるから、
②+④=⑥ が成り立つので、
②は、\(\Large \left( 400-x\right)\) とあらわせます。
%を百分率に直しておく。
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Lukia
表の①から⑥が書き込めたので、
%を百分率に直していきます。
左から、
\(\Large \frac{13}{100}\) ・ \(\Large \frac{5}{100}\) ・ \(\Large \frac{10}{100}\) となりますね。
%を百分率に直していきます。
左から、
\(\Large \frac{13}{100}\) ・ \(\Large \frac{5}{100}\) ・ \(\Large \frac{10}{100}\) となりますね。
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もも
あっ、お株を奪われたッ!
縦はかけ算・横はたし算
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Lukia
たまにはい~ぢゃないですかぁ。(笑)
では、「縦はかけ算」をお願いします。
では、「縦はかけ算」をお願いします。
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もも
(軽く流されたな・・・)
それでは、縦の列ごとに「縦はかけ算」をして、
表の一番下の段のマスをうめていきます。
まず、13%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)\) となります。
それでは、縦の列ごとに「縦はかけ算」をして、
表の一番下の段のマスをうめていきます。
まず、13%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)\) となります。
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Lukia
はいはい♪
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もも
むむっ・・・
次に、5%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{5}{100}\times x\) となります。
次に、5%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{5}{100}\times x\) となります。
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Lukia
ヘイヘイ♪
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もも
(完全に遊んでるな・・・)
そして、10%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{10}{100}\times 400\) となります。
そして、10%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{10}{100}\times 400\) となります。
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Lukia
ホイホイ♪
一番下の段の「たし算」をする。
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もも
Lukia先生のことはほっといて、先に進みます。
表の一番下の段は、「横はたし算」をして、式を立てていきます。
ひとまず、
\(\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)+\frac{5}{100}\times x=\frac{10}{100}\times 400\) となります。
表の一番下の段は、「横はたし算」をして、式を立てていきます。
ひとまず、
\(\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)+\frac{5}{100}\times x=\frac{10}{100}\times 400\) となります。
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Lukia
ちなみに、この式は、
「2種類の濃度の食塩水を混ぜ合わせてできる食塩水に含まれる『食塩の重さ』」を表しています。
いま、濃度が10%以上になってほしい。ということは、
左辺と右辺の大小関係はどうなりますか?
「2種類の濃度の食塩水を混ぜ合わせてできる食塩水に含まれる『食塩の重さ』」を表しています。
いま、濃度が10%以上になってほしい。ということは、
左辺と右辺の大小関係はどうなりますか?
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もも
いきなりマジメになって復活してこないでくださいッ!
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もも
方程式のままだったら、10%きっかりのときの食塩の重さになりますが、
今回はそれよりも多く含まれてほしい。ということなので、
左辺 \(\Large \geq \) 右辺が成り立つと思います。
今回はそれよりも多く含まれてほしい。ということなので、
左辺 \(\Large \geq \) 右辺が成り立つと思います。
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Lukia
そうですね。ですから、不等式の記号を使って、
\(\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)+\frac{5}{100}\times x \geq \frac{10}{100}\times 400\) とすることができますね。
\(\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)+\frac{5}{100}\times x \geq \frac{10}{100}\times 400\) とすることができますね。
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もも
じゃ、計算はももがやってみます。
ふきだしははずして書きますね。
ふきだしははずして書きますね。
$$\Large \frac{13}{100}\times \left( 400-x\right)+\frac{5}{100}\times x \geq \frac{10}{100}\times 400$$
両辺の分母の100をはらって、
$$\Large 13\times \left( 400-x\right)+5x\geq 10\times 400$$
$$\Large \left( 13-10\right)\times 400-13x+5x \geq 0$$
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もも
\(\Large -8x\) を右辺に移項して
$$\Large 3\times 400 \geq 8x$$
両辺を8でわって、
$$\Large 3\times 50 \geq x$$
$$\Large 150 \geq x (または、 x \leq 150 )$$
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もも
つまり、5%の食塩水を150g以下にすればよいことになりますね。
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Lukia
よくできました♪
こたえ
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Lukia
いかがでしたか。
不等式の記号の向きに気をつければ、それ以外で難しいところはなかったと思います。
不等式の記号の向きに気をつければ、それ以外で難しいところはなかったと思います。
150g以下
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