高校数学の「二次関数のちょっと複雑な平行移動」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数Yahoo!知恵袋, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 二次関数 , 平行移動 , 平方完成 , 頂点 , 数学検定準2級

問題

problem

放物線\(y=3x^2+6x+5\)を原点に関して対称移動し、さらに\(x\)軸方向に\(2\),\(y\)軸方向に\(-3\)だけ平行移動したとき移動後の放物線の方程式を求めよ。
Lukia_74

Lukia

二次関数というか、放物線の式を見たら、まずは平方完成して、頂点を求めましょう。
平行移動は、基本的には頂点をもとに考えるほうが混乱しにくくなります。

$$\begin{align}y=&3x^2+6x+5 \\ =&3\left( x^2+2x\right)+5\\ =&3\left( x+1\right)^2-3+5\\ =&3\left( x+1\right)^2+2\quad より\\ \\ &頂点は \ \left( -1 \ , \ 2\right) \quad である. \end{align}$$
この頂点を原点に関して対称移動させると、
$$\begin{align}&頂点は \ \left( 1 \ , \ -2\right) \quad に移動する. \\&ゆえに \ y=3x^2+6x+5 \ は \\ &y=-3\left( x-1\right)^2-2 \ に移動する.\end{align}$$
$$\begin{align}さらに&\color{#f700ca}{x軸方向に2},\color{#0004fc}{y軸方向に-3}だけ平行移動させるから\\ y=&-3(x-1\color{#f700ca}{-2})^2-2\color{#0004fc}{-3} \\ &=-3\left( x-3\right)^2-5\\ &=-3\left( x^2-6x+9\right)-5 \\ =&-3x^2+18x-32 \end{align}$$

こたえ


$$y=-3x^2+18x-32$$

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