高校数学の「放物線の軸と定義域から最小値を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「放物線の軸と定義域から最小値を求める」問題を解いてみました。
[mathjax]
問題
関数 \( \ y=-x^2+6x+c \ \)\( \ \ \left( 1 \leq x \leq 4\right) \ \) の最小値が \( \ 1 \ \) となるような定数 \( \ c \ \) の値を求めよ。
解法
$$\begin{align}y=&-x^2+6x+c \\\\ =&-\left( x^2-6x\right)+c \\\\ =&-\left( x-3\right)^2+9+c \end{align}$$
与式を \( \ f\left( x\right)=-\left( x-3\right)^2+9+c \ \) とすると、
放物線の軸は \( \ x=3 \ \) であるから、
定義域において、軸から最も離れた \( \ f\left( 1\right) \ \) が最小値となる。
$$\begin{align}f\left( 1\right)=&-4+9+c=1 \\\\ &5+c=1 \\\\ &c=-4 \end{align}$$
与式を \( \ f\left( x\right)=-\left( x-3\right)^2+9+c \ \) とすると、
放物線の軸は \( \ x=3 \ \) であるから、
定義域において、軸から最も離れた \( \ f\left( 1\right) \ \) が最小値となる。
$$\begin{align}f\left( 1\right)=&-4+9+c=1 \\\\ &5+c=1 \\\\ &c=-4 \end{align}$$
こたえ
\( \ c=-4 \ \)
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