高校数学の「三角形の外接円・内接円の半径」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年8月24日図形の性質実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準2級

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問題
\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)について\( \ a=8 \ , \ b=5 \ , \ c=7 \ \)であるとき、
\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)の外接円の半径\( \ \mathrm{R} \ \)と内接円の半径\( \ r \ \)をそれぞれ求めよ。

三角形の外接円と内接円

三角形の面積を3通り表現してみる。

Lukia_74

Lukia

三角形の三辺の長さがわかっていて、ある角の大きさが知りたいならば、余弦定理を用いるべきでしょうが、
今回は、外接円、または内接円の半径の長さなので、余弦定理から攻めるルートだと、遠回りになってしまう可能性があります。
せっかく三辺の長さがわかっているので、「ヘロンの公式」を用いて、三角形の面積から、それぞれの半径の長さを求めてみましょう。

ヘロンの公式

辺の長さがそれぞれ\( \ a \ , \ b \ , \ c \ \)の三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)の面積を\( \ \mathrm{S} \ \)とするとき、
\( \ \mathrm{S}=\sqrt{s\left( s-a\right)\left( s-b\right)\left( s-c\right)} \quad \left( s=\frac{a+b+c}{2}\right)\ \)
である。

$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}&の面積を\mathrm{S}とする。\\\\ s=&\frac{8+5+7}{2}=10\quad より\\\\ \mathrm{S}=&\sqrt{10\cdot 2\cdot 5\cdot 3} =10\sqrt{3} \end{align}$$

内接円の半径を利用して

$$\begin{align}\mathrm{S}=&\frac{1}{2}r\left( a+b+c\right) \\\\ \mathrm{S}=&r \frac{\left( a+b+c\right)}{2}=rs \\\\ 10\sqrt{3}=&10r\\\\ r=&\sqrt{3} \end{align}$$

外接円の半径と正弦定理を利用して

$$\begin{align}\angle \mathrm{BAC}=&\theta\quad とする。\\\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}bc\sin \theta \\\\ 正弦定理より&\quad \mathrm{2R}=\frac{a}{\sin \theta} \\\\ 辺々かけ& 合わせて\\\\ \mathrm{2RS}=&\frac{1}{2}abc\\\\ 4\mathrm{RS}=&abc\\\\ 4\times 10\sqrt{3}\mathrm{R}=&8\times 5\times 7\\\\ \mathrm{R}=&\frac{7\sqrt{3}}{3} \end{align}$$

式変形をして楽に計算しよう。

Lukia_74

Lukia

いかがですか?
ヘロンの公式を知っていると、
\( \ \angle \mathrm{BAC}=\theta \ \)を具体的に求めずに、内接円や外接円の半径が求められるんですね。
Lukia_74

Lukia

ヘロンの公式を知らない、または忘れている場合は、余弦定理から攻めるルートを取ることになります。
余弦定理は、使いこなせばすごい威力を発揮するんですが、
計算力やスピードが求められますので、リスクも伴うんですね。
Lukia_74

Lukia

今回は、三角形の面積が幾通りもの求め方があることを利用して、内接円、外接円の半径を求めました。
\( \ \mathrm{S}=rs \ \)と\( \ 4\mathrm{RS}=abc \ \)を覚えておくと便利そうですね。

こたえ

$$\begin{align}外接円の半径 \ \mathrm{R}=&\frac{7\sqrt{3}}{3} \\\\ 内接円の半径 \ r=&\sqrt{3} \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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