高校数学の「三角形の外接円・内接円の半径」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年8月24日図形の性質Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

読了時間: 約2分55秒

KEYWORDS高校数学 , 三角形の外接円・内接円の半径 , ヘロンの公式 , 正弦定理 , 数学検定準2級

Contents

1. 問題
2. 三角形の面積を3通り表現してみる。
3. 式変形をして楽に計算しよう。
4. こたえ

問題

$ \ \triangle \mathrm{ABC} \ $について$ \ a=8 \ , \ b=5 \ , \ c=7 \ $であるとき、
$ \ \triangle \mathrm{ABC} \ $の外接円の半径$ \ \mathrm{R} \ $と内接円の半径$ \ r \ $をそれぞれ求めよ。

三角形の面積を3通り表現してみる。

Lukia

三角形の三辺の長さがわかっていて、ある角の大きさが知りたいならば、余弦定理を用いるべきでしょうが、
今回は、外接円、または内接円の半径の長さなので、余弦定理から攻めるルートだと、遠回りになってしまう可能性があります。
せっかく三辺の長さがわかっているので、「ヘロンの公式」を用いて、三角形の面積から、それぞれの半径の長さを求めてみましょう。

ヘロンの公式

辺の長さがそれぞれ$ \ a \ , \ b \ , \ c \ $の三角形$ \ \mathrm{ABC} \ $の面積を$ \ \mathrm{S} \ $とするとき、
$ \ \mathrm{S}=\sqrt{s\left( s-a\right)\left( s-b\right)\left( s-c\right)} \quad \left( s=\frac{a+b+c}{2}\right)\ $
である。

$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}&の面積を\mathrm{S}とする。\\ s=&\frac{8+5+7}{2}=10\quad より\\ \mathrm{S}=&\sqrt{10\cdot 2\cdot 5\cdot 3} =10\sqrt{3} \end{align}$$

内接円の半径を利用して

$$\begin{align}\mathrm{S}=&\frac{1}{2}r\left( a+b+c\right) \\ \mathrm{S}=&r \frac{\left( a+b+c\right)}{2}=rs \\ 10\sqrt{3}=&10r\\ r=&\sqrt{3} \end{align}$$

外接円の半径と正弦定理を利用して

$$\begin{align}\angle \mathrm{BAC}=&\theta\quad とする。\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}bc\sin \theta \\ \\ 正弦定理より&\quad \mathrm{2R}=\frac{a}{\sin \theta} \\ 辺々かけ& 合わせて\\ \mathrm{2RS}=&\frac{1}{2}abc\\ 4\mathrm{RS}=&abc\\ 4\times 10\sqrt{3}\mathrm{R}=&8\times 5\times 7\\ \mathrm{R}=&\frac{7\sqrt{3}}{3} \end{align}$$