高校数学の「三角形の外接円・内接円の半径」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
問題

\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)の外接円の半径\( \ \mathrm{R} \ \)と内接円の半径\( \ r \ \)をそれぞれ求めよ。

三角形の面積を3通り表現してみる。

Lukia
今回は、外接円、または内接円の半径の長さなので、余弦定理から攻めるルートだと、遠回りになってしまう可能性があります。
せっかく三辺の長さがわかっているので、「ヘロンの公式」を用いて、三角形の面積から、それぞれの半径の長さを求めてみましょう。
ヘロンの公式
\( \ \mathrm{S}=\sqrt{s\left( s-a\right)\left( s-b\right)\left( s-c\right)} \quad \left( s=\frac{a+b+c}{2}\right)\ \)
である。
$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}&の面積を\mathrm{S}とする。\ s=&\frac{8+5+7}{2}=10\quad より\ \mathrm{S}=&\sqrt{10\cdot 2\cdot 5\cdot 3} =10\sqrt{3} \end{align}$$
内接円の半径を利用して
$$\begin{align}\mathrm{S}=&\frac{1}{2}r\left( a+b+c\right) \ \mathrm{S}=&r \frac{\left( a+b+c\right)}{2}=rs \ 10\sqrt{3}=&10r\ r=&\sqrt{3} \end{align}$$
外接円の半径と正弦定理を利用して
$$\begin{align}\angle \mathrm{BAC}=&\theta\quad とする。\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}bc\sin \theta \ \ 正弦定理より&\quad \mathrm{2R}=\frac{a}{\sin \theta} \ 辺々かけ& 合わせて\ \mathrm{2RS}=&\frac{1}{2}abc\ 4\mathrm{RS}=&abc\ 4\times 10\sqrt{3}\mathrm{R}=&8\times 5\times 7\ \mathrm{R}=&\frac{7\sqrt{3}}{3} \end{align}$$
式変形をして楽に計算しよう。

Lukia
ヘロンの公式を知っていると、
\( \ \angle \mathrm{BAC}=\theta \ \)を具体的に求めずに、内接円や外接円の半径が求められるんですね。

Lukia
余弦定理は、使いこなせばすごい威力を発揮するんですが、
計算力やスピードが求められますので、リスクも伴うんですね。

Lukia
\( \ \mathrm{S}=rs \ \)と\( \ 4\mathrm{RS}=abc \ \)を覚えておくと便利そうですね。
こたえ
$$\begin{align}外接円の半径 \ \mathrm{R}=&\frac{7\sqrt{3}}{3} \ \内接円の半径 \ r=&\sqrt{3} \end{align}$$
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