高校数学の「三角形の外接円・内接円の半径」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

図形の性質Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

読了時間: 約255
KEYWORDS高校数学 , 三角形の外接円・内接円の半径 , ヘロンの公式 , 正弦定理 , 数学検定準2級

問題

problem
\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)について\( \ a=8 \ , \ b=5 \ , \ c=7 \ \)であるとき、
\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)の外接円の半径\( \ \mathrm{R} \ \)と内接円の半径\( \ r \ \)をそれぞれ求めよ。

三角形の外接円と内接円
三角形の外接円と内接円

三角形の面積を3通り表現してみる。

Lukia_74

Lukia

三角形の三辺の長さがわかっていて、ある角の大きさが知りたいならば、余弦定理を用いるべきでしょうが、
今回は、外接円、または内接円の半径の長さなので、余弦定理から攻めるルートだと、遠回りになってしまう可能性があります。
せっかく三辺の長さがわかっているので、「ヘロンの公式」を用いて、三角形の面積から、それぞれの半径の長さを求めてみましょう。

ヘロンの公式

辺の長さがそれぞれ\( \ a \ , \ b \ , \ c \ \)の三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)の面積を\( \ \mathrm{S} \ \)とするとき、
\( \ \mathrm{S}=\sqrt{s\left( s-a\right)\left( s-b\right)\left( s-c\right)} \quad \left( s=\frac{a+b+c}{2}\right)\ \)
である。

$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}&の面積を\mathrm{S}とする。\\ s=&\frac{8+5+7}{2}=10\quad より\\ \mathrm{S}=&\sqrt{10\cdot 2\cdot 5\cdot 3} =10\sqrt{3} \end{align}$$

内接円の半径を利用して

$$\begin{align}\mathrm{S}=&\frac{1}{2}r\left( a+b+c\right) \\ \mathrm{S}=&r \frac{\left( a+b+c\right)}{2}=rs \\ 10\sqrt{3}=&10r\\ r=&\sqrt{3} \end{align}$$

外接円の半径と正弦定理を利用して

$$\begin{align}\angle \mathrm{BAC}=&\theta\quad とする。\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}bc\sin \theta \\ \\ 正弦定理より&\quad \mathrm{2R}=\frac{a}{\sin \theta} \\ 辺々かけ& 合わせて\\ \mathrm{2RS}=&\frac{1}{2}abc\\ 4\mathrm{RS}=&abc\\ 4\times 10\sqrt{3}\mathrm{R}=&8\times 5\times 7\\ \mathrm{R}=&\frac{7\sqrt{3}}{3} \end{align}$$

式変形をして楽に計算しよう。

Lukia_74

Lukia

いかがですか?
ヘロンの公式を知っていると、
\( \ \angle \mathrm{BAC}=\theta \ \)を具体的に求めずに、内接円や外接円の半径が求められるんですね。
Lukia_74

Lukia

ヘロンの公式を知らない、または忘れている場合は、余弦定理から攻めるルートを取ることになります。
余弦定理は、使いこなせばすごい威力を発揮するんですが、
計算力やスピードが求められますので、リスクも伴うんですね。
Lukia_74

Lukia

今回は、三角形の面積が幾通りもの求め方があることを利用して、内接円、外接円の半径を求めました。
\( \ \mathrm{S}=rs \ \)と\( \ 4\mathrm{RS}=abc \ \)を覚えておくと便利そうですね。

こたえ

$$\begin{align}外接円の半径 \ \mathrm{R}=&\frac{7\sqrt{3}}{3} \\ \\内接円の半径 \ r=&\sqrt{3} \end{align}$$

カテゴリー