高校数学の「三角形の外接円・内接円の半径」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

三角形の面積を3通り表現してみる。

Lukia

三角形の三辺の長さがわかっていて、ある角の大きさが知りたいならば、余弦定理を用いるべきでしょうが、
今回は、外接円、または内接円の半径の長さなので、余弦定理から攻めるルートだと、遠回りになってしまう可能性があります。
せっかく三辺の長さがわかっているので、「ヘロンの公式」を用いて、三角形の面積から、それぞれの半径の長さを求めてみましょう。

ヘロンの公式

$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}&の面積を\mathrm{S}とする。\\\\ s=&\displaystyle\frac{8+5+7}{2}=10\quad より\\\\ \mathrm{S}=&\sqrt{10\cdot 2\cdot 5\cdot 3} =10\sqrt{3} \end{align}$$

内接円の半径を利用して

$$\begin{align}\mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{2}r\left( a+b+c\right) \\\\ \mathrm{S}=&r \displaystyle\frac{\left( a+b+c\right)}{2}=rs \\\\ 10\sqrt{3}=&10r\\\\ r=&\sqrt{3} \end{align}$$

外接円の半径と正弦定理を利用して

$$\begin{align}\angle \mathrm{BAC}=&\theta\quad とする。\\\\ \mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{2}bc\sin \theta \\\\ 正弦定理より&\quad \mathrm{2R}=\displaystyle\frac{a}{\sin \theta} \\\\ 辺々かけ& 合わせて\\\\ \mathrm{2RS}=&\displaystyle\frac{1}{2}abc\\\\ 4\mathrm{RS}=&abc\\\\ 4\times 10\sqrt{3}\mathrm{R}=&8\times 5\times 7\\\\ \mathrm{R}=&\displaystyle\frac{7\sqrt{3}}{3} \end{align}$$

式変形をして楽に計算しよう。

Lukia

いかがですか？
ヘロンの公式を知っていると、
\( \ \angle \mathrm{BAC}=\theta \ \)を具体的に求めずに、内接円や外接円の半径が求められるんですね。

Lukia

ヘロンの公式を知らない、または忘れている場合は、余弦定理から攻めるルートを取ることになります。
余弦定理は、使いこなせばすごい威力を発揮するんですが、
計算力やスピードが求められますので、リスクも伴うんですね。

Lukia

今回は、三角形の面積が幾通りもの求め方があることを利用して、内接円、外接円の半径を求めました。
\( \ \mathrm{S}=rs \ \)と\( \ 4\mathrm{RS}=abc \ \)を覚えておくと便利そうですね。

こたえ

$$\begin{align}外接円の半径 \ \mathrm{R}=&\displaystyle\frac{7\sqrt{3}}{3} \\\\ 内接円の半径 \ r=&\sqrt{3} \end{align}$$