高校数学の「2倍角の公式の応用」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「2倍角の公式の応用」に関する問題を解いてみました。

問題

\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) \( \ \lt \alpha \lt \pi \ \)で \( \ \sin \alpha= \ \)\(\displaystyle\frac{3}{5}\)のとき、
以下の値をそれぞれ求めよ。
(1) \( \ \cos \alpha \ \)
(2) \( \ \sin^{2} \ \) \(\Large\displaystyle\frac{\alpha}{2}\)

(3) \( \ \tan \ \) \(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\)

解法

(1)
$$\displaystyle\frac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi\quad より$$
$$\cos \alpha \lt 0$$
$$\begin{align}\cos \alpha=&-\sqrt{1-\sin^{2} \alpha} \\\\ =&-\sqrt{1-\displaystyle\frac{9}{25}} \\\\ =&-\displaystyle\frac{4}{5} \end{align}$$

(2)
$$\sin^{2} \theta=\displaystyle\frac{1-\cos 2\theta}{2}\quad より$$

$$\begin{align} \sin^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2}=&\displaystyle\frac{1-\cos 2\cdot \displaystyle\frac{\alpha}{2}}{2} \\\\ =&\displaystyle\frac{1-\cos \alpha}{2}\\\\ =&\displaystyle\frac{9}{10} \end{align}$$


(3)
$$\begin{align}1+\tan^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2}=&\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2}} \\\\ここで\quad \cos^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2} =&\displaystyle\frac{1+\cos \alpha}{2}=\displaystyle\frac{1}{10}\\\\ \\\\ 1+\tan^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2}=&10\\\\ \tan \displaystyle\frac{\alpha}{2}=& \pm 3 \\\\ \\\\
\displaystyle\frac{\pi}{2} \lt &\alpha \lt \pi\quad のとき\\\\ \displaystyle\frac{\pi}{4} \lt &\displaystyle\frac{\alpha}{2} \lt \displaystyle\frac{\pi}{2} \\\\ \tan \displaystyle\frac{\alpha}{2} \gt &0\quad より\\\\ \tan \displaystyle\frac{\alpha}{2}=&3 \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)&\quad -\displaystyle\frac{4}{5} \\\\ \left( 2\right)&\quad \displaystyle\frac{9}{10} \\\\ \left( 3\right)&\quad 3 \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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