高校数学の「絶対値と三角関数」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

三角関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 絶対値と三角関数 , 解の個数 , 三角関数 , 数学検定2級

問題

problem
\( \ \sin \theta=\vert \cos 3\theta \vert \ \)を満たすような\( \ \theta \ \)の\( \ 0 \leqq \theta \leqq \pi \ \)の解の個数を求めよ。

トリック・オア・トリート!

仕事帰りの電車で、暇つぶしのためYahoo!知恵袋アプリを開いたところ、おもしろそうな問題を見つけました。
おお、これはいい。記事にしよう。と思ったところ、
右辺にあの記号が・・・

Lukia_74

Lukia

絶対値があるな。ってことは・・・
dino

ディノ

Lukia_74

Lukia

にゃぁ〜〜〜、やっぱりぃ。。。
dino

ディノ

おい、もう一回言うぜ?
菓子くれよぉ〜。
Lukia_74

Lukia

高校生にもなって、な〜にが、菓子くれよぉ。ですかッ!
今日という今日は、なんにもあげませんッ!
dino

ディノ

ふん。たまには、こっちから菓子やろうかと思ってたのに、残念だな。
Lukia_74

Lukia

えっ、お菓子くれるんですか?ディノさんが?
dino

ディノ

そうだよ。一緒に問題解かせてくれたら、礼しようかと思ってたけど、
そっか〜、いらないんなら、しょうがないか。
Lukia_74

Lukia

今日は、お菓子はあげない。とは言いましたが、
私がお菓子はいらない。とは言ってませんよ。(汗)
で、何?
何くれるんですか?
dino

ディノ

それはあとのお楽しみだな。
Lukia_74

Lukia

よ、よし。
じゃぁ、解いてみますか。

まずは三角関数のおさらい。

Lukia_74

Lukia

まずは、三角関数自体のおさらいをしてみましょう。
\( \ y=\sin \theta \ \)のグラフが以下の図のようになるのはよろしいでしょうか?

y=sinθのグラフ

dino

ディノ

おう、いいぞ!
習ったから、描けるぞ!
Lukia_74

Lukia

じゃ、\( \ y=\cos \theta \ \)のグラフをお願いしますね。
dino

ディノ

おう。こうだな。

y=cosθのグラフ

Lukia_74

Lukia

いいですねぇ。
では、この\( \ y=\sin \theta \ \)と\( \ y=\cos \theta \ \)のグラフを重ねてみます。

y=sinθとy=cosθのグラフを重ねてみる。

Lukia_74

Lukia

重ねてみると、違いがわかりますね。
dino

ディノ

そうだな。\( \ \theta=0 \ \)のとき、\( \ y=\sin \theta \ \)のグラフ\( \ y \ \)の値は\( \ 0 \ \)だけど、
\( \ y=\cos \theta \ \)のグラフの\( \ y \ \)の値は\( \ 1 \ \)になるよな。

山と谷の数を考える。

Lukia_74

Lukia

まぁ、\( \ \theta=o \ \)を出発点とすると、値に差がありますよね。
逆にここはいっしょだな〜。と思うところはありますか?
dino

ディノ

ずれてるけど、グラフの曲線の形が同じだ。
Lukia_74

Lukia

そうですね。
次に\( \ y=\cos 3 \theta \ \)を考えるための導入となるんですが、グラフの横軸\( \ \theta \ \)軸を水平線とすると、
\( \ 0 \leqq \theta \leqq 2\pi \ \)の周期において、
\( \ y=\sin \theta \ \)または\( \ y=\cos \theta \ \)のグラフは、山と谷がそれぞれいくつありますか?
ただし、山については、ふもと(水平線)とふもと(水平線)に山頂が挟まれるようにして考えてくださいね。

y=sinθとy=cosθのグラフを重ねてみる。

dino

ディノ

\( \ y=\sin \theta \ \)の場合は、水平線やふもとにあたる\( \ y=0 \ \)から始まって、山頂にいたり、その後下って再び水平線(またはふもと)にぶちあたるな。
んで、その後グラフは下り、谷底を経て、再び水平線に戻ってくる。
ということで、山も谷もひとつずつあるな。
dino

ディノ

一方、\( \ y=\cos \theta \ \)のほうは・・・
谷は1つで間違いないけど、山は2つあるんじゃないのか?
Lukia_74

Lukia

山についてはただし!って言ったことを思い出してください。ふもとから山頂、また再びふもとへ戻って、山1とカウントします。
考えにくかったら、頭の中でこのグラフを\( \ \theta=0 \ \)と\( \ \theta=2\pi \ \)で重ねて筒になるようにしてみてください。
すると、はたして山は2つですか?
dino

ディノ

なるほど、重ねて筒状で考えれば、山はやっぱり1つしかないな。

3θは3倍速と考えればいい。

Lukia_74

Lukia

\( \ 0 \leqq \theta \leqq 2\pi \ \)において、
\( \ y=\sin \theta \ \)も\( \ y=\cos \theta \ \)も、山と谷をそれぞれひとつずつ持つことがわかりました。
ちなみに、この山ひとつ、谷ひとつを「周期」と考えます。
Lukia_74

Lukia

逆の言い方をすると、
\( \ 0 \leqq \theta \leqq 2\pi \ \)における、\( \ y=\sin \theta \ \)または\( \ y=\cos \theta \ \)の周期数は\( \ 1 \ \)ということができます。

Lukia_74

Lukia

では、次に\( \ y=\cos 3\theta \ \)の周期数について考えてみましょう。
Lukia_74

Lukia

さて、ディノさん、
「倍速」ってわかりますか?
なにか身近な「倍速」ってありませんか?
dino

ディノ

あ〜、動画サイトに「倍速」機能があるよな。
あれ、結構便利なんだ。
Lukia_74

Lukia

なぜですか?どんなときに便利ですか?
dino

ディノ

そうだなぁ。たとえば、ある動画を見たいんだけど、収録時間が10分あったとする。
でも、急いでるから、じっくり10分見られない。とか、
動画でしゃべってる人の口調がゆっくりだったり、ゆったりした動きのときは、倍速を上げて見たほうがストレスが少ないこともあるよな。
動画サイトには、最高で2倍速までの設定があるから、10分の動画も5分で見られることになる。
Lukia_74

Lukia

ということは、もしもう一本見たい動画があって、
その収録時間も10分だったとしたら?
dino

ディノ

2倍速で連続してみれば、およそ10分で2本動画を見ることができるな。
Lukia_74

Lukia

今の動画のたとえのディノさんの持ち時間「10分」を\( \ 0 \leqq \theta \leqq 2\pi \ \)と考え、
「倍速」を\( \ 3\theta \ \)の\( \ 3 \ \)と考えます。
Lukia_74

Lukia

\( \ 0 \leqq \theta \leqq 2\pi \ \)において、
\( \ y=\cos \theta \ \)は、山1、谷1で周期数は1でした。1「倍速」としておきましょうか。
では、\( \ 0 \leqq \theta \leqq 2\pi \ \)において、\( \ y=\cos 3\theta \ \)の周期数はいくつでしょうか。
dino

ディノ

\( \ 3\theta \ \)ってことは、「3倍速」ってことだよな。
さっきの動画のたとえだと、もし、3倍速にする機能があれば、10分で収録時間10分の動画が3本見られることになる。
ということは、山と谷もそれぞれ3つ存在することになるな。
つまり、周期数は\( \ 3 \ \)だ!

「周期」を意識してグラフを描こう。

Lukia_74

Lukia

じゃ、\( \ y=\cos 3\theta \ \)のグラフ、描けますか?
dino

ディノ

フリーハンドでそれぞれ3つの山と谷を描くのはしんどいな。
Lukia_74

Lukia

たしかに。
じゃ、\( \ y=\cos 3\theta \ \)の「周期」を考えてみましょう。
\( \ y=\cos \theta \ \)の場合、\( \ \frac{ \pi }{ 2 } \leqq \theta \leqq {\frac{ 3 }{ 2 }}\pi \ \)で谷をつくり、
\( \ 0 \leqq \theta \leqq \frac{ \pi }{ 2 } \ \)と\( \ {\frac{ 3 }{ 2 }}\pi \leqq \theta \leqq 2\pi \ \)を合わせて山をつくっていました。
表現の仕方が難しいので、伝わりづらいかもしれませんが、ふもと(水平線)から\( \ \pi \ \)進む間に山をつくり、同様に水平線(ふもと)から\( \ \pi \ \)進む間に谷をつくります。
ということは、ふもとまたは水平線から\( \ \frac{ \pi }{ 2 } \ \)進んだところで山頂または谷底に到達しなければならないことになりますね。
dino

ディノ

ということは、\( \ y=\cos 3\theta \ \)は、\( \ 0 \ \)から\( \ 2\pi \ \)の間を\( \ 3 \ \)つに区切って、
さらに\( \ 0 \ \)から\( \ 2\pi \ \)の間を\( \ 6 \ \)つに区切れば、山と谷にはさまれたふもと(水平線)の位置が決定できるな。
あ、でも、コサインの場合は、いきなり山頂から始まるから、6つじゃ、ふもと(水平線)の位置は決定できない。
\( \ 0 \ \)から\( \ 2\pi \ \)の間を\( \ 12 \ \)に区切る。
そうすると、
山頂→ふもと(水平線)→谷底→水平線(ふもと)→山頂・・・と目印が打てるから、
あとは曲線でつなげばいいわけだな。

y=cos3θのグラフ

Lukia_74

Lukia

ということは、\( \ y=\cos 3\theta \ \)の「周期」は?
dino

ディノ

\( \ 0 \ \)から\( \ 2\pi \ \)の間を\( \ 3 \ \)等分するんだから、
「周期」は\( \ {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \ \)だ。

「周期」の感覚を叩き込む。

Lukia_74

Lukia

ディノさん、すご〜い!
えっ、じゃぁ、じゃぁ、\( \ \sin 3\theta \ \)の周期は?
dino

ディノ

そりゃ〜、\( \ {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \ \)だろ。
Lukia_74

Lukia

正解ッ!
じゃぁ、じゃぁ、\( \ cos5\theta \ \)の周期は?
dino

ディノ

\( \ {\frac{ 2 }{ 5 }}\pi \ \)。
Lukia_74

Lukia

正解ッ!
じゃ、\( \ \sin 6\theta \ \)だったら?
dino

ディノ

\( \ {\frac{ 2 }{ 6 }}\pi \ \)・・・
おっと、ひっかけやがったな。
\( \ \frac{ \pi }{ 3 } \ \)だ。
Lukia_74

Lukia

うわ〜、ひっかからなかったか。(笑)
じゃぁ、じゃぁ〜。
\( \ 2\cos 3\theta \ \)!
dino

ディノ

へっ、\( \ 2\cos 3\theta \ \)?
(見る場所は、\( \ \theta \ \)のあるところだけだから・・・)
くっ・・・、さ、\( \ {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \ \)!
Lukia_74

Lukia

はっ、失礼しました。(笑)
じゃ、これが最後の質問です。
\( \ \sin \frac{1}{2}\theta \ \)の周期は?

dino

ディノ

ええ?にぶんのいち???
\( \ \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} \ \)ってことは、にぃぱい わる にぶんのいち・・・
わ〜 にぃぱい かけ に ってことだから・・・
\( \ 4\pi \ \)!!
Lukia_74

Lukia

完璧ですっ!

珍しくディノさんが翻弄されてましたね。たまにはこういうのもいいかな。

グラフ上の絶対値表記を考える。

Lukia_74

Lukia

「周期」や「周期数」の感覚がそなわり、グラフが楽に描けるようになったところで、いよいよ絶対値の意味を考えていきたいと思います。
Lukia_74

Lukia

さきほど、ディノさんが描いてくれた\( \ y=\cos 3\theta \ \)のグラフを見てみましょう。

y=cos3θのグラフ

Lukia_74

Lukia

横軸、今回は\( \ \theta \ \)軸となっていますが、ここが\( \ y=0 \ \)にあたりますよね。
曲線が\( \ \theta \ \)軸よりも下にある場合、\( \ y \ \)の値は・・・
dino

ディノ

負になるな。
Lukia_74

Lukia

そうですね。
グラフでは負になる部分をピンクで塗りつぶしています。
Lukia_74

Lukia

でも、今回考えるのは、
\( \ y=\vert \cos 3\theta \vert \ \)ですよね。
ということは、ピンクに塗りつぶした部分は・・・
dino

ディノ

このままじゃまずいな。絶対値は、0までの距離と考えると、距離に負はありえないもんな。
Lukia_74

Lukia

では、どうすればいいですか?
dino

ディノ

ピンクに塗りつぶした部分を\( \ \theta \ \)軸で折り返す!
つまりこうなる!

Lukia_74

Lukia

まぁ、なんて仕事の速い!
濃いピンクの曲線で、すべて山になっていますね。
絶対値山脈とでも名付けたくなるような。
dino

ディノ

折り返したものがわかりやすいよう、元・負の値だった曲線部分は、淡いピンクで残像のように描いておいたぞ。
Lukia_74

Lukia

ナイスです。

解の個数を求める。

Lukia_74

Lukia

それでは、いよいよ仕上げです。
\( \ y=\sin \theta \ \)と\( \ y=\vert \cos 3\theta \vert \ \)のグラフを重ねて描いてみましょう。

y=sinθとy=|cos3θ|のグラフ

dino

ディノ

\( \ \theta \ \)軸で折り返した部分は、またピンクで塗りつぶしたぞ。
Lukia_74

Lukia

はい。
すなわち、\( \ 0 \ \)から\( \ \pi \ \)の範囲における青い曲線の\( \ \sin \theta \ \)とピンクの曲線の\( \ \vert \cos 3\theta \vert \ \)交点の個数が、
求める「解の個数」となりますね。
わかりやすいよう紫の点をつけてみます。

解の個数を数える

dino

ディノ

6個あるな。
Lukia_74

Lukia

そのとおり!

umiphotoさんによる写真ACからの写真

トリック・オア・トリート!再び。

Lukia_74

Lukia

解けましたね。今回、5800字も書いてますから、
数学カテゴリにしては超大作ですよ。
dino

ディノ

そうだな。問題自体はシンプルなのに、中身は結構ハードだったよな。
Lukia_74

Lukia

んで、何食べさせてくれるんですか?
dino

ディノ

お、おう・・・。
これだ。

ぶっきらぼうに渡された紙袋を開けてみると・・・

ハロウィンのおばけカボチャの載ったプリン
tnaaさんによる写真ACからの写真
Lukia_74

Lukia

うわ〜、プリンだぁ〜〜♪
dino

ディノ

ほら、こないだ、プリン好きだって言ってたろ?
Lukia_74

Lukia

優しいとこあるんですねっ♪
dino

ディノ

ふんっ、さっさと食えっ!(汗)

照れるディノさんを眺めつつ、おいしくいただいたのでした。

こたえ

解:6つ

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