実用数学技能検定の「漸化式」に関する問題を解いてみる。（公式Twitterより）

2019年5月27日2023年1月14日数列実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準1級

[mathjax]

実用数学技能検定（数学検定）の公式Twitterに、【#数検にチャレンジ】というハッシュタグがあり、時々過去問が出題されることがあります。
今回は、2019年5月18日（土曜日）に実施された第53回検定の準1級の計算技能検定より一問出題されていました。
まずは問題が載り、その後答えが載るのですが、Twitterなので、途中の計算過程はすっとばされています。
この記事では、私なりの計算過程を書いてみようと思います。

Lukia

まずは、和を表す\( \ S_n \ \)が邪魔なので、消せるように式を動かしていきます。
とはいえ、せっかくですから、まずは初項を求めておきましょう。

与式を①とする。
$$\begin{align}初項 \ &a_1 \ を求める. \\\\ 2a_1-a_1=&2 \\\\ a_1=&2 \end{align}$$
$$\begin{align}2a_{n+1}-S_{n+1}=&2^{n+1} \\\\ 2a_{n+1}-a_{n+1}-S_n=&2\cdot 2^n \\\\ a_{n+1}-S_n=&2\cdot 2^n\quad \cdots② \end{align}$$

②-①をする。
$$\begin{align}a_{n+1}-S_n-2a_n+S_n=&2\cdot 2^n-2^n\\\\ \\\\ a_{n+1}-2a_n=&2^n\quad \cdots③ \\\\ \\\\③の両辺を \ 2^{n+1}で割る. \end{align}$$

$$\begin{align}\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{2a_n}{2\cdot 2^n}=&\frac{2^n}{2\cdot 2^n} \\\\\\\\ ここで, \ \frac{a_n}{2^n}=&b_n\quad とする. \\\\ また, \ b_1=&\frac{a_1}{2^1}=1 \\\\ b_{n+1}-b_n=&\frac{1}{2} \\\\ \\\\ 以上より,\lbrace b_n\rbrace \ は初項1, \ 公差\frac{1}{2} \ の等差数列.\\\\ b_n=&\frac{1}{2}\left( n+1\right) \end{align}$$
$$\begin{align}a_n=&2^nb_n \\\\ =&\left( n+1\right)\cdot 2^{n-1}\\\\ \\\\ a_9=&\left( 9+1\right)\cdot 2^{9-1}\\\\ =&2560 \end{align}$$

こたえ

$$2560$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。