高校数学の「図形と計量」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

図形と計量Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 図形と計量 , 数学検定準2級

問題

problem

\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)において\( \ \mathrm{AB}=6 \ , \ \mathrm{BC}=8 \ , \ \mathrm{CA}=7 \ \)のとき,
\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)の面積は\( \ \frac{21\sqrt{15}}{4} \ \)である。
また,点\( \ \mathrm{C} \ \)をとおり,辺\( \ \mathrm{AB} \ \)と平行な直線と,\( \ \angle \mathrm{ABC} \ \)の二等分線が交わる点を\( \ \mathrm{D} \ \)とするとき,
線分\( \ \mathrm{AD} \ \)の長さはいくらか。

「逆算力」を持とう。

Lukia_74

Lukia

数学のグラフ描画ソフトGeoGebra(ジオジブラ)を使って描いたのが以下の図です。
こんな図を限られた時間で、なるべく正確にかくのは難しそうですね。

Lukia_74

Lukia

最終的に辺\( \ \mathrm{AD} \ \)の長さを求めるには、
いろいろなアプローチがあると思いますが、こういう幾何の問題は、特に「逆算する力」が求められるように思います。
もっというと、辺\( \ \mathrm{AD} \ \)を求めるのに、どの三角形の情報がわかればよいのか。ということをあらかじめ見極めておく力ともいえると思います。
Lukia_74

Lukia

わからないことだらけだから、まずは簡単にわかりそうなことを明らかにして、そのうちどうすればいいか、方針も定まってくるだろう。と思ってしまいますが、
目的地(情報を得たい三角形)が定まらぬまま、なんとなくやっていると、そのうちどんどんドツボにはまっていってしまいます。
Lukia_74

Lukia

大学入試センター試験の数学ⅠAで出てくる幾何の問題は、「なんとなくやっている人ホイホイ」的な機能が備わっているように思いますので、日ごろから、逆算する力を身に着けるような解答練習をこなすようにすることをオススメします。

目的地が定まったら解いていくだけ。

Lukia_74

Lukia

さて、その上でもう一度図を見ていきます。
辺\( \ \mathrm{AD} \ \)を求めるには、\( \ \triangle \mathrm{ACD} \ \)の情報が得られればよさそうですね。
Lukia_74

Lukia

辺\( \ \mathrm{AD} \ \)を求めるには、余弦定理が用いればよさそうなので、特に辺\( \ \mathrm{CD} \ \)の長さと、\( \ \cos \angle \mathrm{ACD} \ \)がわかればよさそうです。

$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}について&余弦定理より \\\\ \cos \angle \mathrm{BAC}=&\frac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2}{2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}=\frac{1}{4} \\\\ また,平行線の錯角より&\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}\quad であるから,\\\\ \cos \angle \mathrm{ACD}=&\frac{1}{4}\quad \cdots\cdots\quad ① \end{align}$$
$$\begin{align}線分\mathrm{BE}は,&\angle \mathrm{ABC}の二等分線だから, \\\\ \mathrm{AB}:\mathrm{CB}=&\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=3:4 \\\\ &\left( 点\mathrm{E} \ は辺 \ \mathrm{AB} \ を3:4に内分するといえる\right) \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

ここから三角形の相似にもちこんで、辺\( \ \mathrm{CD} \ \)の長さを求めていきます。

$$\begin{align}\triangle \mathrm{EAB}\quad と& \ \triangle \mathrm{ECD}\quad において, \\\\ \angle \mathrm{AEB}=&\angle \mathrm{CED}\quad \left( 対頂角\right) \\\\ \angle \mathrm{ABE}=&\angle \mathrm{CDE}\quad \left( 平行線の錯角\right)\quad より\\\\ \triangle \mathrm{EAB}\backsim &\triangle \mathrm{ECD}\quad であり,\\\\ 相似比は,&3:4\quad である.\\\\ ゆえに,\quad \mathrm{CD}=&8\quad \cdots\cdots\quad ② \end{align}$$
$$\begin{align}\triangle \mathrm{ACD}\quad において,&余弦定理より, \\\\ \cos \angle \mathrm{ACD}=&\frac{\mathrm{AC}^2+\mathrm{CD}^2-\mathrm{AD}^2}{2\mathrm{AC}\cdot \mathrm{CD}} \\\\ \frac{1}{4}=&\frac{49+64-\mathrm{AD}^2}{2\cdot 7\cdot 8}\\\\ \mathrm{AD}^2=&85\\\\ \mathrm{AD}=&\sqrt{85}\quad \left( \mathrm{AD} \gt 0\quad より\right) \end{align}$$

こたえ


$$\mathrm{AD}=\sqrt{85}$$

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