高校数学の「絶対値を含む放物線と直線の共有点の個数」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準2級

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「絶対値を含む放物線と直線の共有点の個数」に関する問題を解いてみました。

問題

\( \ k \ \)は定数とする。
方程式 \( \ \vert x^2-x-2 \vert=2x+k \ \) の異なる実数解の個数を調べよ。

解法

$$\begin{align}f\left( x\right)=&\vert x^2-x-2 \vert-2x\quad とする。 \\\\ =&\vert \left( x+1\right)\left( x-2\right) \vert-2x \\\\ \\\\ f\left( x\right)=&x^2-3x-2\quad \left( x \lt -1, \ 2 \lt x\quad のとき\right)\\\\ f\left( x\right)=&-x^2-x+2\quad \left( -1 \leqq x \leqq 2\quad のとき\right) \end{align}$$
グラフは以下の通り。
絶対値を含む放物線と直線の共有点を求める

以下、直線 \( \ y=k \ \) と \( \ f\left( x\right) \ \) との共有点の個数を求める。
絶対値を含む放物線と直線の共有点を求める図 その1
① \( \ k \lt -4 \ \)のとき 実数解 なし
② \( \ k=-4 \ \)のとき 実数解 \( \ 1 \ \) 個


絶対値を含む放物線と直線の共有点を求める図 その2③ \( \ -4 \lt k \lt 2 \ \)のとき 実数解 \( \ 2 \ \) 個
④ \( \ k=2 \ \)のとき 実数解 \( \ 3 \ \) 個


絶対値を含む放物線と直線の共有点を求める図 その3
⑤ \( \ 2 \lt k \lt \ \)\(\displaystyle\frac{9}{4}\)のとき 実数解 \( \ 4 \ \) 個
⑥ \( \ k= \ \)\(\displaystyle\frac{9}{4}\)のとき 実数解 \( \ 3 \ \) 個
⑦ \( \ k \gt \ \)\(\displaystyle\frac{9}{4}\)のとき 実数解 \( \ 2 \ \) 個

こたえ

絶対値を含む放物線と直線の共有点を求める図 その4
① \( \ k \lt -4 \ \)のとき 実数解 なし
② \( \ k=-4 \ \)のとき 実数解 \( \ 1 \ \) 個
③ \( \ -4 \lt k \lt 2 \ \)のとき 実数解 \( \ 2 \ \) 個
④ \( \ k=2 \ \)のとき 実数解 \( \ 3 \ \) 個
⑤ \( \ 2 \lt k \lt \ \)\(\displaystyle\frac{9}{4}\)のとき 実数解 \( \ 4 \ \) 個
⑥ \( \ k= \ \)\(\displaystyle\frac{9}{4}\)のとき 実数解 \( \ 3 \ \) 個
⑦ \( \ k \gt \ \)\(\displaystyle\frac{9}{4}\)のとき 実数解 \( \ 2 \ \) 個

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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