高校数学の「平面ベクトル（点の存在範囲）」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年4月12日ベクトルYahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検2級

問題

(1)　\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \)
\( \ 0 \leqq s+t \leqq 3\quad ,\quad s \geqq 0\quad ,\quad t \geqq 0 \ \)を満たすとき、
点\( \ \mathrm{P} \ \)の存在範囲を図示せよ。

 

(2)　\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \)
\( \ 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}\quad ,\quad s \geqq 0\quad ,\quad t \geqq 0 \ \)を満たすとき、
点\( \ \mathrm{P} \ \)の存在範囲を図示せよ。

(1)を解く。

$$\begin{align}&0 \leqq s+t \leqq 3\quad の各辺を\frac{1}{3}倍する. \\ &0 \leqq \color{#f700ca}{\frac{1}{3}s}+\color{#f700ca}{\frac{1}{3}t} \leqq 1\\ \\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\ =&3\cdot \color{#f700ca}{\frac{1}{3}s}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\cdot \color{#f700ca}{\frac{1}{3}t}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\ =& \color{#f700ca}{\frac{1}{3}s}\cdot 3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\color{#f700ca}{\frac{1}{3}t}\cdot 3\overrightarrow{\mathrm{OB}} \end{align}$$
$$\begin{align}ここで,\quad &3\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA’}} \\ &3\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB’}}\quad とする.\\ \\ また,\quad &\frac{1}{3}s=k\\ &\frac{1}{3}t=l\\ &\quad \left( k \ , \ l\quad は実数\right) \quad とすると, \end{align}$$

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&k\overrightarrow{\mathrm{OA’}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB’}} \\ &\quad 0 \leqq k+l \leqq 1\quad ,\quad k \geqq 0\quad ,\quad l \geqq 0\quad となる. \end{align}$$

$$\begin{align}点\mathrm{P}の&存在範囲は, \\ &下図の \ \triangle \mathrm{OA’B’}\quad の周上とその内部.\end{align}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}&0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}\quad の各辺を2倍する. \\ &0 \leqq \color{#f700ca}{2s}+\color{#f700ca}{2t} \leqq 1\\ \\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\ =&\frac{1}{2}\cdot \color{#f700ca}{2s}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2}\cdot \color{#f700ca}{2t}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\ =& \color{#f700ca}{2s}\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\color{#f700ca}{2t}\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \end{align}$$

$$\begin{align}ここで,\quad &\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA’}} \\ &\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB’}}\quad とする.\\ \\ また,\quad &2s=k\\ &2t=l\\ &\quad \left( k \ , \ l\quad は実数\right) \quad とすると, \end{align}$$

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&k\overrightarrow{\mathrm{OA’}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB’}} \\ &\quad 0 \leqq k+l \leqq 1\quad ,\quad k \geqq 0\quad ,\quad l \geqq 0\quad となる. \end{align}$$

$$\begin{align}点\mathrm{P}の&存在範囲は, \\ &下図の \ \triangle \mathrm{OA’B’}\quad の周上とその内部.\end{align}$$

こたえ

(1)
$$点\mathrm{P}の存在範囲は, 下図の \ \triangle \mathrm{OA’B’}\quad の周上とその内部.$$

(2)
$$点\mathrm{P}の存在範囲は, 下図の \ \triangle \mathrm{OA’B’}\quad の周上とその内部.$$

プロフィール

Author Profile

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。