高校数学の「空間ベクトルの内積(外積を利用)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

ベクトルYahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 空間ベクトル , 外積 , 数学検定2級

問題

problem

 

\( \ t \ \)を\( \ 0 \ \)でない実数とする。
2つのベクトル\( \ \vec{a}=\left( 1 \ , \ -t \ , \ -1\right) \ \),\( \ \vec{b}=\left( t \ , \ -1 \ , \ 1\right) \ \)の内積を\( \ t \ \)を用いて表すと \( \ \vec{a}\cdot \vec{b}=\color{#0004fc}{ア} \ \)である。
また,\( \ \vec{a} \ , \ \vec{b} \ \)のなす角が\( \ {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \ \)であるとき,\( \ t \ \)の値は\( \ t=\color{#0004fc}{イ} \ \)である。
さらに,\( \ t=\color{#0004fc}{イ} \ \)のとき,\( \ \vec{a} \ , \ \vec{b} \ \)の両方に垂直な単位ベクトル\( \ \vec{c} \ \)と\( \ \vec{d}=\left( 0 \ , \ 0 \ , \ 1\right) \ \)の内積の絶対値は \( \ \vert \vec{c}\cdot \vec{d} \vert=\color{#0004fc}{ウ} \ \)である。

アを求める。

$$\begin{align}\vec{a}\cdot \vec{b}=&1\cdot t+\left( -t\right)\cdot \left( -1\right)+\left( -1\right) \cdot 1\\ =&t+t-1 \\ =&2t-1 \end{align}$$

イを求める。

$$\begin{align}\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert}=&\cos {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \\ \\ \frac{2t-1}{\sqrt{t^2+2}\sqrt{t^2+2}}=&-\frac{1}{2} \\ \\ -2\left( 2t-1\right)=&t^2+2\\ t\left( t+4\right)=&0\\ t=&-4\quad \left( t \neq 0\quad より\right) \end{align}$$

ウを求める。

Lukia_74

Lukia

現在は高校数学で、ベクトルの外積というのを教えなくなっているようなのですが、「ふたつのベクトルに垂直な」ベクトルを求めるときには、とても便利なので、覚えておくとよいかもしれません。
\( \ \vec{a}=\left( a \ , \ b \ , \ c\right) \ \) \( \ \vec{b}=\left( s \ , \ t \ , \ u\right) \ \)のとき

$$\begin{align}\vec{c}=&\vec{a}\times \vec{b}=\left( 3 \ , \ 3 \ , \ 15\right)=3k\left( 1 \ , \ 1 \ , \ 5\right)\quad \left( k \ は実数\right) \\ また \ \vert \vec{c} \vert=&1\quad より \\ \vert \vec{c} \vert=&3k\sqrt{1^2+1^2+5^2}=9\sqrt{3}k=1\\ \\ k=& \pm \frac{\sqrt{3}}{27}\\ \\ ゆえに, \ \vec{c}=& \pm \frac{\sqrt{3}}{9}\left( 1 \ , \ 1 \ , \ 5\right) \end{align}$$

$$\begin{align}\vert \vec{c}\cdot \vec{d} \vert=&\vert \pm \frac{\sqrt{3}}{9}\left( 1 \ , \ 1 \ , \ 5\right)\cdot \left( 0 \ , \ 0 \ , \ 1\right) \vert \\ \\ =&\frac{5\sqrt{3}}{9}\end{align}$$

ウの解法(本当はこっち)

$$\begin{align}\vec{c}=&\left( x \ , \ y \ , \ z\right)\quad とし \\ &\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1\quad とする。\\ \vec{a}\cdot \vec{c}=&0\quad より\\ &x+4y-z=0\quad \cdots\cdots \ ① \\ \vec{b}\cdot \vec{c}=&0\quad より\\ &-4x-y+z=0\quad \cdots\cdots \ ②\\ ①と②より&x=y\quad ,\quad z=5y\quad である。\\ x^2+y^2+z^2=&y^2+y^2+25y^2=1\quad より\\ y=& \pm \frac{\sqrt{3}}{9}\\ \\ ゆえに,\quad &\vec{c}= \pm \frac{\sqrt{3}}{9}\left( 1 \ , \ 1 \ , \ 5\right) \end{align}$$
(以下略)

こたえ

$$\begin{align}\color{#0004fc}{ア}\quad &2t-1 \\ \color{#0004fc}{イ}\quad &-4 \\ \color{#0004fc}{ウ}\quad &\frac{5\sqrt{3}}{9} \end{align}$$

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