高校入試に出そうな数学の文章題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年2月25日2023年1月14日中学数学実用数学技能検定（数学検定数検),数検3級,数検準2級

読了時間: 約4分54秒

[mathjax]

問題

円柱形の容器$ \ \mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ $と水道管$ \ a \ , \ b \ $がある。容器$ \ \mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ $の底面の円の半径の比は$ \ 2:3 \ $で,高さはともに$ \ 40 \ $cmであり,容器$ \ \mathrm{B} \ $には深さ$ \ 10 \ $cmまで水が入っている。水道管$ \ a \ , \ b \ $が同一時間に注入できる水の量の比は$ \ 4:1 \ $である。容器$ \ \mathrm{A} \ $には$ \ a \ $を,容器$ \ \mathrm{B} \ $には$ \ b \ $を同じ時間だけ使って水を入れ,次に,容器$ \ \mathrm{A} \ $には$ \ b \ $を,容器$ \ \mathrm{B} \ $には$ \ a \ $をそれぞれ最初の場合の2倍の時間だけ使って水を入れたところ,水の深さが等しくなった。
(1) このとき,水道管$ \ a \ , \ b \ $を使って容器$ \ \mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ $に入れた水の体積の比は,$ \ \color{#0004fc}{ア}:\color{#0004fc}{イ} \ $である。
(2) 等しくなった水の深さは$ \ \color{#0004fc}{ウエ} \ $cmである。

適度に文字でおいて、準備しよう。

Lukia

この問題は、Yahoo！知恵袋の高校数学カテゴリで見つけました。
やっていることは中学数学内容なので、「中学数学だけど、回答者数の多そうな高校数学カテゴリに投稿したのかな？」と最初は思っていました。
が、しかし。
中学生にこれほどまで「自分で文字を設定して置く。」ということをさせるのかどうか。と考えると、高校数学の内容のような気もします。

Lukia

ハイレベルな数学になると、具体的な数字よりは、抽象的な文字が出現することが多くなります。
大学数学レベルになると、数字がほとんどなくて、文字ばっかりなんだそうで、
「あれ、オレは今、何をやっているんだ？英語か？」と思ったりするほどなんだとか。(笑)今回の問題は、その下準備ととらえてもいいかもしれませんね。

問題を考えるうえで、以下のように定める。

	容器A	容器B	単位
底面の半径	$$2r$$	$$3r$$	$$cm$$
容器内の水の深さ	$$h_\mathrm{A}$$	$$h_\mathrm{B}$$	$$cm$$
容器内の水の体積	$$\mathrm{V_A}=4r^2\pi h_\mathrm{A}$$	$$\mathrm{V_B}=9r^2\pi h_\mathrm{B}$$	$$cm^3$$

$$\begin{align}また,\quad &水道 \ b \ の一定時間の流入量\left( 体積\right) を \ v \ cm^3\quad とすると,\\\\ &水道 \ a \ の一定時間の流入量\left( 体積\right) は4v \ cm^3\quad と表せる。\\\\ & \end{align}$$

	容器A	容器B	単位
底面の半径	$$2r$$	$$3r$$	$$cm$$
容器内の水の深さ	$$h_\mathrm{A}$$	$$h_\mathrm{B}$$	$$cm$$
容器内の水の体積	$$\mathrm{V_A}=4r^2\pi h_\mathrm{A}$$	$$\mathrm{V_B}=9r^2\pi h_\mathrm{B}$$	$$cm^3$$
水道から流入した水の体積	$$4v+2v=6v$$	$$v+8v=9v$$	$$cm^3$$
容器内の水の体積	$$6v$$	$$90r^2\pi+9v$$	$$cm^3$$

(1)を解く。

2つの容器に入れた水の体積比は,
$$\left( 4v+2v\right):\left( v+8v\right)=6v:9v=\color{#0004fc}{2}:\color{#0004fc}{3}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}容器内の水の体積=&底面積\times 高さ\quad より,\\\\ 容器内の水の深さは,& \\\\ 水の深さ=&\frac{容器内の水の体積}{底面積}\\\\ すなわち,\quad h=&\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{S}} \quad で求められる。\end{align}$$

Lukia

表を少し書き直してみました。

	容器A	容器B	単位
底面の面積	$$\mathrm{S_A}=4r^2\pi$$	$$\mathrm{S_B}=9r^2\pi$$	$$cm^2$$
容器内の水の深さ	$$h_\mathrm{A}$$	$$h_\mathrm{B}$$	$$cm$$
容器内の水の体積	$$\mathrm{V_A}=4r^2\pi h_\mathrm{A}$$	$$\mathrm{V_B}=9r^2\pi h_\mathrm{B}$$	$$cm^3$$
容器内の水の体積	$$\mathrm{V_A}=6v$$	$$\mathrm{V_B}=90r^2\pi+9v$$	$$cm^3$$

$$\begin{align}容器\mathrm{A}の水の深さ=&容器\mathrm{B}の水の深さ \\\\ h_\mathrm{A}=&h_\mathrm{B}\\\\ \frac{\mathrm{V_A}}{\mathrm{S_A}}=&\frac{V_B}{\mathrm{S_B}} \\\\ \frac{6v}{4r^2\pi}=& \frac{90r^2\pi+9v}{9r^2\pi}\\\\ \frac{3}{2}v=&10r^2\pi+v \\\\ v=&20r^2\pi\end{align}$$

Lukia

( あれ？容器内の水の深さを求めたはずなのに、$ \ v \ $が出てきた？（汗）)
と思う方もいるでしょうね。
でも、あわてないで。
わたしたちは、水道$ \ b \ $が一定時間で流入する量（体積）を$ \ v \ cm^3 \ $と決めたのでありました。
ということは、いま、容器内の水の体積は2通りで表されていますから、
容器$ \ \mathrm{A} \ $または容器$ \ \mathrm{B} \ $の水の体積を求める式に代入していけば、水の深さが求められそうですね。
まぁ、すでに水の深さを求める式に変形しているので、今回は容器$ \ \mathrm{A} \ $の方に代入して答えを求めてみます。

$$\begin{align}h_\mathrm{A}=&\frac{\mathrm{V_A}}{\mathrm{S_A}}=\frac{6v}{4r^2\pi}=\frac{3\times 20r^2\pi}{2r^2\pi}=\color{#0004fc}{30}\end{align}$$