高校入試に出そうな数学の文章題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

中学数学数学, 数学検定, 数検3級, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学? , 中学数学では? , 高校入試に出そう , 自分で文字を置く力 , 数学検定準2級 , 数学検定3級

問題

problem

 

円柱形の容器\( \ \mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ \)と水道管\( \ a \ , \ b \ \)がある。容器\( \ \mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ \)の底面の円の半径の比は\( \ 2:3 \ \)で,高さはともに\( \ 40 \ \)cmであり,容器\( \ \mathrm{B} \ \)には深さ\( \ 10 \ \)cmまで水が入っている。水道管\( \ a \ , \ b \ \)が同一時間に注入できる水の量の比は\( \ 4:1 \ \)である。容器\( \ \mathrm{A} \ \)には\( \ a \ \)を,容器\( \ \mathrm{B} \ \)には\( \ b \ \)を同じ時間だけ使って水を入れ,次に,容器\( \ \mathrm{A} \ \)には\( \ b \ \)を,容器\( \ \mathrm{B} \ \)には\( \ a \ \)をそれぞれ最初の場合の2倍の時間だけ使って水を入れたところ,水の深さが等しくなった。
(1) このとき,水道管\( \ a \ , \ b \ \)を使って容器\( \ \mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ \)に入れた水の体積の比は,\( \ \color{#0004fc}{ア}:\color{#0004fc}{イ} \ \)である。
(2) 等しくなった水の深さは\( \ \color{#0004fc}{ウエ} \ \)cmである。

適度に文字でおいて、準備しよう。

Lukia_74

Lukia

この問題は、Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリで見つけました。
やっていることは中学数学内容なので、「中学数学だけど、回答者数の多そうな高校数学カテゴリに投稿したのかな?」と最初は思っていました。
が、しかし。
中学生にこれほどまで「自分で文字を設定して置く。」ということをさせるのかどうか。と考えると、高校数学の内容のような気もします。
Lukia_74

Lukia

ハイレベルな数学になると、具体的な数字よりは、抽象的な文字が出現することが多くなります。
大学数学レベルになると、数字がほとんどなくて、文字ばっかりなんだそうで、
「あれ、オレは今、何をやっているんだ?英語か?」と思ったりするほどなんだとか。(笑)今回の問題は、その下準備ととらえてもいいかもしれませんね。

問題を考えるうえで、以下のように定める。

容器A 容器B 単位
底面の半径 $$2r$$ $$3r$$ $$cm$$
容器内の水の深さ $$h_\mathrm{A}$$ $$h_\mathrm{B}$$ $$cm$$
容器内の水の体積 $$\mathrm{V_A}=4r^2\pi h_\mathrm{A}$$ $$\mathrm{V_B}=9r^2\pi h_\mathrm{B}$$ $$cm^3$$

$$\begin{align}また,\quad &水道 \ b \ の一定時間の流入量\left( 体積\right) を \ v \ cm^3\quad とすると,\\\\ &水道 \ a \ の一定時間の流入量\left( 体積\right) は4v \ cm^3\quad と表せる。\\\\ & \end{align}$$

容器A 容器B 単位
底面の半径 $$2r$$ $$3r$$ $$cm$$
容器内の水の深さ $$h_\mathrm{A}$$ $$h_\mathrm{B}$$ $$cm$$
容器内の水の体積 $$\mathrm{V_A}=4r^2\pi h_\mathrm{A}$$ $$\mathrm{V_B}=9r^2\pi h_\mathrm{B}$$ $$cm^3$$
水道から流入した水の体積 $$4v+2v=6v$$ $$v+8v=9v$$ $$cm^3$$
容器内の水の体積 $$6v$$ $$90r^2\pi+9v$$ $$cm^3$$

(1)を解く。

2つの容器に入れた水の体積比は,
$$\left( 4v+2v\right):\left( v+8v\right)=6v:9v=\color{#0004fc}{2}:\color{#0004fc}{3}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}容器内の水の体積=&底面積\times 高さ\quad より,\\\\ 容器内の水の深さは,& \\\\ 水の深さ=&\frac{容器内の水の体積}{底面積}\\\\ すなわち,\quad h=&\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{S}} \quad で求められる。\end{align}$$

Lukia_74

Lukia

表を少し書き直してみました。
容器A 容器B 単位
底面の面積 $$\mathrm{S_A}=4r^2\pi$$ $$\mathrm{S_B}=9r^2\pi$$ $$cm^2$$
容器内の水の深さ $$h_\mathrm{A}$$ $$h_\mathrm{B}$$ $$cm$$
容器内の水の体積 $$\mathrm{V_A}=4r^2\pi h_\mathrm{A}$$ $$\mathrm{V_B}=9r^2\pi h_\mathrm{B}$$ $$cm^3$$
$$\mathrm{V_A}=6v$$ $$\mathrm{V_B}=90r^2\pi+9v$$

$$\begin{align}容器\mathrm{A}の水の深さ=&容器\mathrm{B}の水の深さ \\\\ h_\mathrm{A}=&h_\mathrm{B}\\\\ \frac{\mathrm{V_A}}{\mathrm{S_A}}=&\frac{V_B}{\mathrm{S_B}} \\\\ \frac{6v}{4r^2\pi}=& \frac{90r^2\pi+9v}{9r^2\pi}\\\\ \frac{3}{2}v=&10r^2\pi+v \\\\ v=&20r^2\pi\end{align}$$

Lukia_74

Lukia

( あれ?容器内の水の深さを求めたはずなのに、\( \ v \ \)が出てきた?(汗))
と思う方もいるでしょうね。
でも、あわてないで。
わたしたちは、水道\( \ b \ \)が一定時間で流入する量(体積)を\( \ v \ cm^3 \ \)と決めたのでありました。
ということは、いま、容器内の水の体積は2通りで表されていますから、
容器\( \ \mathrm{A} \ \)または容器\( \ \mathrm{B} \ \)の水の体積を求める式に代入していけば、水の深さが求められそうですね。
まぁ、すでに水の深さを求める式に変形しているので、今回は容器\( \ \mathrm{A} \ \)の方に代入して答えを求めてみます。

$$\begin{align}h_\mathrm{A}=&\frac{\mathrm{V_A}}{\mathrm{S_A}}=\frac{6v}{4r^2\pi}=\frac{3\times 20r^2\pi}{2r^2\pi}=\color{#0004fc}{30}\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}(1)\quad \quad &\color{#0004fc}{2}:\color{#0004fc}{3} \\\\ (2)\quad \quad &\color{#0004fc}{30} \ cm \end{align}$$

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