高校数学の「放物線と直線の共有点とその距離」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 二次関数 , 二つの放物線と直線 , 距離 , 数学検定準2級

問題

problem

 

2つの放物線
\( \ \mathrm{C}_1 \ :\quad y=x^2-6x+9 \ \) と
\( \ \mathrm{C}_2 \ :\quad y=x^2-2x+1 \ \) について考える.
また,\( \ k \ \)を\( \ 1 \ \)と異なる正の定数とし,直線\( \ y=k \ \)と2つの放物線\( \ \mathrm{C}_1 \ , \ \mathrm{C}_2 \ \)の合わせて4つの交点を\( \ x \ \)座標の小さい順に \( \ \mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ , \ \mathrm{C} \ , \ \mathrm{D} \ \)とする.4点\( \ \mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ , \ \mathrm{C} \ , \ \mathrm{D} \ \)が等間隔で並んでいるとき,
\( \ 0 \lt k \lt 1 \ \)ならば \( \ k=\frac{\color{#0004fc}{ア}}{\color{#0004fc}{イ}} \ \) であり,
\( \ k \gt 1 \ \)ならば \( \ k=\color{#0004fc}{ウ} \ \) である.

4つの交点を明らかにする。

$$\begin{align}曲線\mathrm{C}_1 \ と\quad &y=k\quad の交点のx座標を求める. \\\\ \left( x-3\right)^2=&k\quad より, \\\\ x=&3 \pm \sqrt{k} \\\\ \\\\ 曲線\mathrm{C}_2 \ と\quad &y=k\quad の交点のx座標を求める. \\\\ \left( x-1\right)^2=&k\quad より, \\\\ x=&1 \pm \sqrt{k}\end{align}$$

0<k<1 のとき


$$\begin{align}0 \lt k \lt 1\quad &のとき,4点\mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ , \ \mathrm{C} \ , \ \mathrm{D} は,\\\\ 左から\quad &\mathrm{A}\left( 1-\sqrt{k} \ , \ k\right)\quad ,\quad \mathrm{B}\left( 1+\sqrt{k} \ , \ k\right)\\\\ & \mathrm{C}\left( 3-\sqrt{k} \ , \ k\right)\quad ,\quad \mathrm{D}\left( 3+\sqrt{k} \ , \ k\right)\quad と並んでいる. \end{align}$$
4点 A , B , C , D が等間隔に並んでいるということは、
AD間が点B, 点C によって3等分されているといえる。

$$\begin{align}\frac{\mathrm{AD}}{3}=&\mathrm{BC} \\\\ \mathrm{AD}=&3\mathrm{BC} \\\\ 3+\sqrt{k}-1+\sqrt{k}=&3-\sqrt{k}-1-\sqrt{k} \\\\ 2+2\sqrt{k}=&6-6\sqrt{k}\\\\ \sqrt{k}=&\frac{1}{2}\\\\ k=&\frac{\color{#0004fc}{1}}{\color{#0004fc}{4}} \end{align}$$

1<k のとき


$$\begin{align}1 \lt k \quad &のとき,4点\mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ , \ \mathrm{C} \ , \ \mathrm{D} は,\\\\ 左から\quad &\mathrm{A}\left( 1-\sqrt{k} \ , \ k\right)\quad ,\quad \mathrm{B}\left( 3-\sqrt{k} \ , \ k\right)\\\\ & \mathrm{C}\left( 1+\sqrt{k} \ , \ k\right)\quad ,\quad \mathrm{D}\left( 3+\sqrt{k} \ , \ k\right)\quad と並んでいる. \end{align}$$
4点 A , B , C , D が等間隔に並んでいるということは、
AD間が点B, 点C によって3等分されているといえる。
$$\begin{align}\frac{\mathrm{AD}}{3}=&\mathrm{BC} \\\\ \mathrm{AD}=&3\mathrm{BC} \\\\ 3+\sqrt{k}-1+\sqrt{k}=&3\left( 1+\sqrt{k}-3+\sqrt{k}\right) \\\\ 2+2\sqrt{k}=&-6+6\sqrt{k} \\\\ \sqrt{k}=&2\\\\ k=&\color{#0004fc}{4} \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}0 \lt k \lt 1 \quad のとき\quad &k=\frac{\color{#0004fc}{1}}{\color{#0004fc}{4}}\\\\
k \gt 1\quad のとき\quad &k=\color{#0004fc}{4}\end{align}$$

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