Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「進数」に関する問題を解いてみる。

整数の性質Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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問題

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\(n\)は2以上の自然数とする。次の問いに答えよ。
\(\left( 1\right) 10進数の54をn進法で表すと、66_\left( n\right)となる。nの値を求めよ。\)
\(\left( 2\right) 10進数の123をn進法で表すと、146_\left( n\right)となる。nの値を求めよ。\)

(1)を解く。

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Lukia

生まれてこの方10進数の世界で生きてきたのに、
突然\(n\)進数などといわれても戸惑うことでしょう。
ひとまず、54を\(54_\left( 10\right)\) として、表で表してみましょう。
表を書く手順を覚えれば、たとえ\(n\)進法でも書けるはずです。

10進数を10進数で表してみる。

$$54_\left( 10\right)=10^1\times 5+10^0\times 4 とも表せるから、$$

 

$$10進数(指数つき)$$ $$10^1$$ $$10^0$$
$$10進数$$ $$10$$ $$1$$
位の数 $$5$$ $$4$$

n進数を10進数で表してみる。

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Lukia

上にならって、\(66_\left( n\right)\) を表で表し、式に直します。
$$n進数$$ $$n^1$$ $$n^0$$
$$10進数$$ $$n$$ $$1$$
位の数 $$6$$ $$6$$

$$表より、66_\left( n\right)=\left( 6n+6\right)_\left( 10\right) と表せる。$$

問題を解く。

$$\begin{align}66_\left( n\right)=6n+6=&54 \\ n+1=&9 \\ n=&8 \end{align}$$

$$\Large こたえ: n=8$$

(2)を解く。

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Lukia

さっそく表を書いて、
\(n\)進数を\(10\)進数に直しましょう。

 

$$n進数$$ $$n^2$$ $$n^1$$ $$n^0$$
$$10進数$$ $$n^2$$ $$n$$ $$1$$
$$位の数$$ $$1$$ $$4$$ $$6$$

$$表より、146_\left( n\right)=\left( n^2+4n+6\right)_\left( 10\right) と表せる。$$

$$\begin{align}146_\left( n\right)=n^2+4n+6=&123 \\ n^2+4n-117=&0 \\ \left( n+13\right)\left( n-9\right)=&0\\ ただし、nは自然数であるから、n=&9 \end{align}$$
$$\Large こたえ: n=9$$

こたえ

$$\left( 1\right)  n=8$$
$$\left( 2\right)  n=9$$

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